常见泰勒展开公式及其推导

简介

泰勒展开是将一个光滑函数在某一点附近展开成 幂级数（多项式）的形式
其核心思想是：用多项式来逼近复杂函数

泰勒展开的应用场景主要有：

1. 近似计算：用多项式计算复杂函数值（如计算器底层实现）
2. 极限求解：将函数展开后比较阶数
3. 微分方程：将解表示为幂级数形式
4. 理论分析：研究函数的局部性质

泰勒级数的通用公式

若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处无限可微，则：

$$ \begin{aligned} f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \ &= f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \dfrac{f’’(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots \end{aligned} $$

当 $x_0 = 0$ 时，称为 麦克劳林展开：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

常见函数的泰勒展开推导

指数函数 $e^x$ 的展开

由于 $\dfrac{d^n}{dx^n}e^x = e^x$，所以 $f^{(n)}(0) = e^0 = 1$

代入麦克劳林公式：

$$ \boxed{ \begin{aligned} e^x &= 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \cdots \ &= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} \end{aligned} } $$

收敛域： $x \in (-\infty, +\infty)$

正弦函数 $\sin x$ 的展开

计算各阶导数在 $x=0$ 处的值：

$n$	$f^{(n)}(x)$	$f^{(n)}(0)$
0	$\sin x$	0
1	$\cos x$	1
2	$-\sin x$	0
3	$-\cos x$	-1
4	$\sin x$	0
…	…	…

规律：偶数阶导数为 0，奇数阶导数交替为 $\pm 1$

因此：

$$ \boxed{ \begin{aligned} \sin x &= x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots \ &= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{aligned} } $$

收敛域： $x \in (-\infty, +\infty)$

余弦函数 $\cos x$ 的展开

类似地，$\cos x$ 的各阶导数：

$n$	$f^{(n)}(x)$	$f^{(n)}(0)$
0	$\cos x$	1
1	$-\sin x$	0
2	$-\cos x$	-1
3	$\sin x$	0
4	$\cos x$	1

规律：奇数阶导数为 0，偶数阶导数交替为 $\pm 1$

$$ \boxed{ \begin{aligned} \cos x &= 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \cdots \ &= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned} } $$

收敛域： $x \in (-\infty, +\infty)$

对数函数 $\ln(1+x)$ 的展开

计算导数：

• $f(x) = \ln(1+x)$, $f(0) = 0$
• $f’(x) = \dfrac{1}{1+x}$, $f’(0) = 1$
• $f’’(x) = -\dfrac{1}{(1+x)^2}$, $f’’(0) = -1$
• $f’’’(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$, $f’’’(0) = 2$
• $f^{(4)}(x) = -\dfrac{6}{(1+x)^4}$, $f^{(4)}(0) = -6$

一般地：$f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}(n-1)!$

代入公式：

$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}x^n = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$$

$$ \boxed{ \begin{aligned} \ln(1+x) &= x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \cdots \ &= \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \end{aligned} } $$

收敛域： $-1 < x \leq 1$（在 $x=1$ 处收敛于 $\ln 2$）

幂函数 $(1+x)^\alpha$ 的展开（二项式级数）

$f^{(n)}(x) = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}$

$f^{(n)}(0) = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)$

记广义组合数：$\binom{\alpha}{n} = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$

$$ \boxed{ \begin{aligned} (1+x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots \ &= \sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n \end{aligned} } $$

特殊情况：

• 当 $\alpha = -1$

  $\dfrac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$（$|x| < 1$）

• 当 $\alpha = \dfrac{1}{2}$

  $\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \cdots$

收敛域： $|x| < 1$（端点视 $\alpha$ 而定）

反正切函数 $\arctan x$ 的展开

利用 $\dfrac{d}{dx}\arctan x = \dfrac{1}{1+x^2}$

先展开 $\dfrac{1}{1+x^2}$：令 $t = -x^2$，则

$$\dfrac{1}{1+x^2} = \dfrac{1}{1-(-x^2)} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}$$

再逐项积分：

$$\arctan x = \int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}dt = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \int_0^x t^{2n}dt = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$$

$$ \boxed{ \begin{aligned} \arctan x &= x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + \cdots \ &= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \end{aligned} } $$

收敛域： $[-1, 1]$（在端点处收敛）

著名推论： 令 $x=1$，得莱布尼茨公式：

$$\dfrac{\pi}{4} = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \cdots$$

泰勒展开的余项与误差估计

拉格朗日余项

$$R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

其中 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间

皮亚诺余项

$$R_n(x) = o((x-x_0)^n) \quad (x \to x_0)$$

公式汇总表

函数	麦克劳林展开	收敛域
$e^x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}$	$(-\infty, +\infty)$
$\sin x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$(-\infty, +\infty)$
$\cos x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$	$(-\infty, +\infty)$
$\ln(1+x)$	$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$	$(-1, 1]$
$(1+x)^\alpha$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n$	$(-1, 1)$
$\arctan x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$	$[-1, 1]$
$\dfrac{1}{1-x}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n$	$(-1, 1)$