高等代数知识点记录

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2025-05-24 15245 words 31 minutes

Contents

参考资料

学习目标

learning outcomes 回顾数学知识，学习思维技巧，锻炼思维能力

多项式（Polynomials）

数域（Number Field）

简单来说，一个数域是一个数的集合 $F$，满足以下条件：

包含 0 与 1；
对加法、减法、乘法、除法（除以非零元）封闭。

常见的数域：

复数域 $\mathbb{C}$
实数域 $\mathbb{R}$
有理数域 $\mathbb{Q}$

“最小的数域”是有理数域 $\mathbb{Q}$，因为任何数域都包含它，所以它是最小的

多项式的相关概念是否依赖于数域？在多项式理论中，有些性质会随着考虑的数域不同而不同，有的则不会变

与数域有关的性质

可约性 / 不可约性（Reducible/Irreducible）

定义：多项式能否写成两个次数更低的多项式的乘积

例如： $x^2 - 2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，但在 $\mathbb{R}$ 上可分解为 $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$
$x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可约，但在 $\mathbb{C}$ 上可分解为 $(x-i)(x+i)$

所以可约性与数域直接相关
因式分解（Factorization）

在不同的数域里，多项式的完全因式分解可能不一样

例如：$x^4 - 4$
在 $\mathbb{Q}$ 上：$(x^2-2)(x^2+2)$（不能继续分解）
在 $\mathbb{R}$ 上：$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2+2)$
在 $\mathbb{C}$ 上：$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-i\sqrt{2})(x+i\sqrt{2})$
根（Roots）

多项式在不同域中的根的数量、值与域有关

与数域无关的性质

最大公因式（GCD）

对于 $f, g \in F[x]$，它们的 gcd 作为 $F[x]$ 中的多项式（可取首一的）是唯一的，并且这个多项式在扩域 $K$ 中也是 $f, g$ 的 gcd
也就是说，gcd 不随域扩张而改变（但要在原域中定义好）
带余除法（Division Algorithm）

给定多项式 $f(x), g(x) \neq 0$，总存在唯一商式和余式
证明是构造性的，只用四则运算，所以在任意域中都一样
因此不论取哪个包含它们系数的域，商和余式都一样
整除（Divisibility）

若 $f = g \cdot h$，这个等式在系数所在的域成立，则只要在一个域里成立，在更大的域里也成立（因为等式不变）。但反过来不一定
但“$g$ 是否整除 $f$”的判断如果只用到带余除法（看余式是否为 0），那么它在任意包含系数的域中结论一致

严格来说：设 $F \subseteq K$ 是两个域，若 $f, g \in F[x]$，那么

$$ g \mid f \ \text{in} \ F[x] \quad \Longleftrightarrow \quad g \mid f \ \text{in} \ K[x]. $$
互素（Coprime）

$ \gcd(f,g) = 1 $ 在某个域中成立，当且仅当在任意扩域中也成立（对于 $f,g\in F[x]$）
因为可以用 辗转相除法 计算 gcd，结果不随域的扩大而改变（指在 $F[x]$ 里的那个 gcd 多项式）

依赖数域的那些概念需要用到域中是否存在某些元素来分解多项式
不依赖数域的概念通常只涉及系数的有理运算（加、减、乘、除），不需要开方或引入超越元素

一元多项式

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$，其中 $n$ 为非负整数，$a_0, a_1, \dots, a_n \in P$
称为系数在数域 $P$ 上的一个一元多项式

分类
- 有次数
  - 零次多项式
    $f(x) = a \neq 0$，$\partial(f(x)) = 0$
  - 大于零次的多项式
- 没有次数
  - 零多项式
    $f(x) = 0$

多项式加减、乘法

两个多项式相加减

$f(x) \pm g(x) = \sum_{i=0}^n (a_i \pm b_i) x^i$

注意 系数对齐，相加时是对应次数 $x^i$ 的系数 $a_i$ 和 $b_i$ 相加

例子
$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$
$g(x) = 5x + 4$

$g(x)$ 补零后为 $0 \cdot x^2 + 5x + 4$
则：$ f(x) + g(x) = (3+0)x^2 + (2+5)x + (1+4) = 3x^2 + 7x + 5. $

多项式相乘

设 $f(x)$ 是 $n$ 次多项式，最高次项为 $a_n x^n$（$a_n \neq 0$）
$g(x)$ 是 $m$ 次多项式，最高次项为 $b_m x^m$（$b_m \neq 0$）

故乘积 $f(x)g(x)$ 的次数为 $m+n$，最高次项系数为 $a_n b_m$
其第 $s$ 项系数是所有满足 $i+j=s$ 的 $a_i b_j$ 之和
这里要求 $i$ 和 $j$ 的取值范围覆盖 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的所有系数（$i \leq n$, $j \leq m$）

$$ f(x)g(x) = a_n b_m x^{m+n} + (a_n b_{m-1} + a_{n-1} b_m) x^{m+n-1} + \dots \

(a_1 b_0 + a_0 b_1) x + a_0 b_0 \ = \sum_{s=0}^{m+n} \left( \sum_{i+j=s} a_i b_j \right) x^s $$

第 $s$ 项系数：$a_s b_0 + a_{s-1} b_1 + \dots + a_1 b_{s-1} + a_0 b_s = \sum_{i+j=s} a_i b_j$

例子
$f(x) = 2x + 1$（$n=1$，系数 $a_1=2$, $a_0=1$）
$g(x) = 3x + 4$（$m=1$，系数 $b_1=3$, $b_0=4$）

$s=0$：$i+j=0$，只有 $a_0 b_0 = 1 \cdot 4 = 4$
$s=1$：$i+j=1$，包括 $a_1 b_0 + a_0 b_1 = 2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 = 11$
$s=2$：$i+j=2$，只有 $a_1 b_1 = 2 \cdot 3 = 6$

则：$ f(x)g(x) = 6x^2 + 11x + 4. $

整除

带余除法

对于 $P[x]$ 中任意两个多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$（$g(x) \neq 0$），一定有 $P[x]$ 中的多项式 $q(x), r(x)$ 存在，使

$$f(x) = q(x)g(x) + r(x)$$

其中 $\partial(r(x)) < \partial(g(x))$ 或 $r(x) = 0$，且这样的 $q(x), r(x)$ 唯一

综合除法

例：将 $f(x) = x^5, x_0 = 1$ 表成 $x - x_0$ 的方幂和

1
2
3
4
5
6
7
8


1 | 1   0   0   0   0   0
  | 1   1   1   1   1   1
---------------------------
    1   1   1   1   1 = c₀
    1   2   3   4   5 = c₁
    1   3   6   10 = c₂
    1   4   10 = c₃
    1   5 = c₄

结果：$x^5 = (x-1)^5 + 5(x-1)^4 + 10(x-1)^3 + 10(x-1)^2 + 5(x-1) + 1$

整除的判定

对于数域 $P$ 上的任意两个多项式 $f(x), g(x)$（其中 $g(x) \neq 0$）
$g(x) | f(x)$ 的充分必要条件是 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的余式为零

整除的性质

$0 | 0$（零多项式整除零多项式，有意义）
$f(x) | 0$
$a | f(x)$（$a \neq 0$）
$f(x) | f(x)$
$f(x) | c f(x)$
传递性：$f(x) | g(x),\ g(x) | h(x) \implies f(x) | h(x)$
$f(x) | g(x) \implies f(x)h(x) | g(x)h(x)$
$f(x) | g(x),\ g(x) | f(x) \implies f(x) = c g(x)$
$ f(x)|g_1(x) $, $ f(x)|g_2(x) \Rightarrow f(x)|g_1(x)h_1(x)+g_2(x)h_2(x) $.
$ f(x)|g(x) \Rightarrow f(x)|g(x)h(x) $.

最大公因式

公因式：$ f(x), g(x) \in P[x] $, $ \varphi(x) \in P[x] $ 若 $ \varphi(x)|f(x) $ 且 $ \varphi(x)|g(x) $ 则 $ \varphi(x) $ 为 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 的公因式.
★ 最大公因式（不唯一）（公因式+最大）$ \begin{cases} d(x)|f(x),\ d(x)|g(x) \ \forall\ \varphi(x) \in P[x],\ \varphi(x)|f(x),\varphi(x)|g(x)\ 且\ \varphi(x)|d(x) \end{cases} $ （公因式+组合）$ \begin{cases} d(x)|f(x),\ d(x)|g(x) \ \exists\ u(x),v(x) \in P[x]\ 有\ d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) \end{cases} $
★★ 最大公因式存在及表示定理 对于 $ P[x] $ 中任意两个多项式 $ f(x), g(x) $, 在 $ P[x] $ 中存在一个最大公因式 $ d(x) $, 且 $ d(x) $ 可表成 $ f(x), g(x) $ 的一个组合, 即 $ \exists\ u(x), v(x) \in P[x] $, 有 $ d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) $.
★★ 辗转相除法 例: 求 $ u(x), v(x) $ 使 $ u(x)f(x)+v(x)g(x) = (f(x),g(x)) $

$ q_1(x)=1 $	$ f(x) $	$ g(x) $
	$ x^4+2x^3-x^2-4x-2 $	$ x^4+x^3-x^2-2x-2 $
$ q_1(x)=x+1 $	$ x^4+x^3-x^2-2x-2 $	$ x^4-2x^2 $
	$ r(x)=x^3-2x $	$ x^3+x^2-2x-2 $
$ q_2(x)=x $	$ x^3-2x $	$ x^3-2x $
	$ r_2(x)=0 $	$ r_1(x)=x^2-2 $

$ r_1(x) $ 为 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 的最大公因式且 $ r_1(x)=x^2-2 $ 即 $ (f(x),g(x))=r_1(x)=-q_1(x)f(x)+(1+q_1(x)q_2(x))g(x) $ $ f=qg + r $ $ g=q_1r + r_1 $ $ r=q_2r_1 + r_2 $

令 $ u(x) = -q_1(x) = -x - 1 $ $ v(x) = 1 + q_1(x)q_2(x) = 1 + (x+1)x = x^2 + x + 1 $ 有 $ (f(x),g(x)) = u(x)f(x) + v(x)g(x) $

互素

$ (f(x),g(x)) = 1 $ 除非零常数外无其他公因式（零次多项式）

★ 判别定理：$ f(x),g(x) \in P[x] $，$ u(x),v(x) \in P[x] $ $ (f(x),g(x)) = 1 \iff u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1 $

性质 ① $ (f(x),g(x)) = 1 $，$ f(x)|g(x)h(x) \implies f(x)|h(x) $ ② $ f_1(x)|g(x) $，$ f_2(x)|g(x) $ 且 $ (f_1(x),f_2(x)) = 1 \implies f_1(x)f_2(x)|g(x) $ ③ $ (f(x),g(x)) = 1 $，$ (f(x),h(x)) = 1 \implies (f(x),g(x)h(x)) = 1 $ ④ $ (f(x),g(x)) = 1 \implies \begin{cases} (f(x),f(x)+g(x)) = 1 \ (g(x),f(x)+g(x)) = 1 \ (f(x)g(x),f(x)+g(x)) = 1 \end{cases} $

因式分解定理

★ 不可约多项式：① $ P[x] $ 固定 ② $ \deg(p(x)) \geq 1 $ ③ 不能在 $ P $ 上分解成 2 个次数较低的多项式乘积 $ P[x] $ 中的一元多项式 $ \begin{cases} \text{可约多项式} \ \text{不可约多项式} \ \text{零次与零多项式} \end{cases} \quad \deg(p(x)) \geq 1 $

一次多项式总是不可约多项式.

★ 不可约多项式的判别方法 $ p(x) $ 为不可约多项式 $ \iff $ 定义 $ (p(x) \in P[x]) \iff $ $ p(x) $ 只有零次因式和 $ p(x) $ 的非 0 常数倍因式 $ \iff \forall f(x) \in P[x] $ 有 $ (f(x),p(x))=1 $ 或 $ p(x)|f(x) $ $ \iff \forall f(x),g(x) \in P[x] $ 若 $ p(x)|f(x)g(x) $ 则 $ p(x)|f(x) $ 或 $ p(x)|g(x) $ $ \iff \forall f_i(x) \in P[x] $ $ i=1,2,\cdots,s $ 若 $ p(x)|f_1(x)f_2(x)\cdots f_s(x) $ 则 $ \exists t\ (1 \leq t \leq s) $ 使 $ p(x)|f_t(x) $
因式分解及唯一性定理 条件：$ \forall f(x) \in P[x] $，$ \deg(f(x)) \geq 1 $ 结论：$ f(x)=p_1(x)\cdots p_s(x) $（可因式分解） $ f(x)=p_1(x)\cdots p_s(x)=q_1(x)q_2(x)\cdots q_t(x) $（唯一性）则 $ s=t $ 且适当排列因式的次序后，有 $ p_i(x)=c_iq_i(x) $$ i=1,\cdots,s $

重因式

★ $ p(x) $ 为 $ f(x) $ 的 $ k $ 重因式 $ \begin{cases} p(x) \in P[x] \text{且为不可约多项式} \ p^k(x)|f(x) \ p^{k+1}(x) \nmid f(x) \end{cases} $
如果不可约多项式 $ p(x) $ 是 $ f(x) $ 的 $ k $ 重因式（$ k \geq 1 $）那么它是微商 $ f’(x) $ 的 $ k-1 $ 重因式. $ p(x) $ 为 $ f(x) $ 的 $ k $ 重因式 $ \implies p(x) $ 为 $ f’(x) $ 的 $ k-1 $ 重因式（$ k \geq 1 $）$ \Leftarrow $

注：① 不可约多项式 $ p(x) $ 是 $ f(x) $ 的重因式（$ k \geq 1 $）那么 $ p(x) $ 是 $ f(x), f’(x), \cdots, f^{(k-1)}(x) $ 的因式，但非 $ f^{(k)}(x) $ 的因式. ② 多项式 $ f(x) $ 无重因式 $ \iff (f(x),f’(x))=1 $ ③ $ p(x) $ 为 $ f(x) $ 与 $ f’(x) $ 的 $ k-1 $ 重因式 $ \implies p(x) $ 为 $ f(x) $ 的 $ k $ 重因式.

多项式函数

余数定理：用一次多项式 $ x-t $ 去除多项式 $ f(x) $, 所得的余式是一个常数, 且这个常数等于函数值 $ f(t) $. $ t $ 为 $ f(x) $ 的根 $ \iff f(t)=0 $ $ \iff x-t \mid f(x) $.
★ 多项式函数的 $ k $ 重根 $ t $ 为 $ f(x) $ 的重根 $ \iff x-t $ 为 $ f(x) $ 的重因式 $ f(x) $ 有重根 $ \implies f(x) $ 有重因式 $ \Leftarrow $
根的个数定理：$ P[x] $ 中的 $ n $ 次多项式（$ n \geq 0 $）在 $ P $ 中的根不可能多于 $ n $ 个.（重根按重数计算）注 $ f(x) \in P[x] $, $ f(x)=0 $ 则 $ f(x) $ 在 $ P $ 中有无穷多个根.

复数与实数多项式的因式分解

复数多项式

代数基本定理：$ \forall f(x) \in \mathbb{C}[x] $, $ \deg(f(x)) \geq 1 $ 则 $ f(x) $ 在 $ \mathbb{C} $ 上必有根.
复数多项式因式分解定理：每个次数 $ \geq 1 $ 的复数多项式在复数域上都可唯一地分解成一次因式的乘积.

实数多项式

若 $ \partial $ 为实数多项式的复根, 则 $ \partial $ 的共轭复数 $ \overline{\partial} $ 也是 $ f(x) $ 的复根注: $ \partial $ 为实 $ f(x) $ 的 $ k(k \geq 1) $ 重复根, 则 $ \overline{\partial} $ 也为 $ f(x) $ 的 $ k $ 重根.

★ 实数多项式因式分解定理 每个次数 $ \geq 1 $ 的实数多项式在实数域上都可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。实数域

$$ \begin{cases} 一次多项式 \ 二次不可约多项式 \ \geq 3 次多项式都可约 \quad \text{（实数域上的不可约多项式）} \end{cases} $$

注：奇数次的实数多项式, 在实数域中必有实根. 多项式次数为 $ n $, 它的根就有 $ n $ 个, 将单位圆几等分.

有理数多项式

本原多项式

定义：设 $ g(x)=bnx^n + b{n-1}x^{n-1} + \cdots + b1x + b_0 \neq 0 $, $ b_i \in \mathbb{Z} $, $ i=1,\cdots,n $ 若 $ b_n, b{n-1}, \cdots, b_1, b_0 $ 互素, 则 $ g(x) $ 称为本原多项式.
高斯引理（Gauss）：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式. 推广：任意多个本原多项式的乘积仍是本原多项式.

整系数多项式因式分解 ★ $ f(x) = anx^n + a{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 $ 是一整系数多项式, $ \frac{r}{s} $ 为它一有理根, ($ r,s $ 互素) 则必有 $ s|a_n $, $ r|a_0 $. $ \frac{a_0}{a_n} $
★ 艾森斯坦判别法（Eisenstein） $ f(x)=anx^n + a{n-1}x^{n-1} + \cdots + a0 $ 是一整系数多项式, 若有一素数 $ p $ 使 $ \begin{cases} p \nmid a_n \ p \mid a{n-1}, a_{n-2}, \cdots, a_0 \ p^2 \nmid a_0 \end{cases} \implies f(x) $ 不可约.

补充：互素两个结论

$ f(x) $ 与 $ g(x) $ 互素 $ \iff (f(x),g(x))=1 $ $ \iff u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1 $ $ \iff f(x) $ 与 $ g(x) $ 仅有零次因式（$ c, c \neq 0 $）

$ u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1 \iff (f(x),g(x))=1 $ $ (u(x), v(x))=1 $ $ (u(x), g(x))=1 $ $ (f(x), v(x))=1 $

行列式

排列

$ n $ 阶排列：指由数字 $ 1, 2, \dots, n $ 构成的一个有序数组（即每个数字恰好出现一次）
例如：$ 5, 4, 2, 3, 1 $ 是一个 5 阶排列

“有序数组” 这个词在排列的定义里，重点是在于 元素的顺序是重要的，而不是指“从小到大”这种自然顺序
“有序” 强调各个数的位置是有意义的，每个数 恰好出现一次（不能重复），顺序是确定的，不同的顺序视为不同的排列
并不是指数值上的“升序”或“降序”

逆序与逆序数

在一个排列中，如果两个数的位置与大小顺序相反（即前面的数 $\gt$ 后面的数或者后面的数 $\lt$ 前面的数），就称为一个逆序

逆序数 $\tau(a_1 a_2 \dots a_n)$ 就是所有逆序的总个数

5 阶排列 $ 5, 4, 2, 3, 1 $
- 5: 后面 {4,2,3,1} 都比 5 小 → 4
- 4: 后面 {2,3,1} 都比 4 小 → 3
- 2: 后面 {1} 比 2 小 → 1
- 3: 后面 {1} 比 3 小 → 1
- 1: 后面没有 → 0
$\tau = 4+3+1+1+0 = 9$
奇排列与偶排列
- 逆序数是奇数的排列叫奇排列
- 逆序数是偶数的排列叫偶排列
$5,4,2,3,1$ 的逆序数为 9，故是奇排列
奇偶排列的数量

$n$ 阶排列共有 $n!$ 个可能性 ($n \ge 2$)
奇排列和偶排列的个数相等，各为 $\displaystyle \frac{n!}{2}$ 个

任意一个对换（交换两个不同元素的位置）会改变排列的奇偶性，因此我们可以建立奇排列与偶排列之间的一一对应

下面思考一下逆序数与反向排列的关系
已知原排列 $P = (x_1, x_2, …, x_n)$ 的逆序数为 $k$，那么它的反向排列 $P’ = (x_n, x_{n-1}, …, x_1)$ 的逆序数是多少？
从该 n 阶排列中任取两个数，总共有 $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ 个数对 $(i,j),\ i<j$
在原来排列中，这些数对要么是正序（$x_i < x_j$），要么是逆序（$x_i > x_j$）。逆序数 $k$ 就是逆序对的个数

原排列中如果是逆序 $(x_i > x_j, i<j)$，则 $P’$ 中顺序是 $x_j$ 在前，$x_i$ 在后，且 $x_i > x_j$，所以在 $P’$ 中是正序
原排列中如果是正序 $(x_i < x_j, i<j)$，则 $P’$ 中顺序是 $x_j$ 在前，$x_i$ 在后，且 $x_i < x_j$，所以在 $P’$ 中是逆序

因此，原排列中的每一个逆序对，在反向排列中变成正序对；反之，原排列中的每一个正序对，在反向排列中变成逆序对
原排列中逆序对数为 $k$，正序对数 = $\frac{n(n-1)}{2} - k$
故反向排列的逆序数 = 原排列的正序对数 = $\frac{n(n-1)}{2} - k$

$n$ 阶行列式

$$ \begin{aligned} \begin{vmatrix} a_1 & & & \ & a_2 & & \ & & \ddots & \ & & & a_n \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} a_1 & & & * \ & a_2 & & \ & & \ddots & \ 0 & & & a_n \end{vmatrix} \ & = \begin{vmatrix} a_1 & & & 0 \ & a_2 & & \ & & \ddots & \ *& & & a_n \end{vmatrix} \ & = a_1 a_2 \dots a_n \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \begin{vmatrix} & & & a_1 \ & & a_2 & \ & \dots & & \ a_n & & & \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix}

& & & a_1 \ & & a_2 & \ & \dots & & \ a_n & & & 0 \end{vmatrix} \ & = \begin{vmatrix} 0 & & & a_1 \ & & a_2 & \ & \dots & & \ a_n & & & * \end{vmatrix} \ & = (-1)^{\tau (n \ n-1 \ \dots \ 1)} a_1 a_2 \dots a_n \ & = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_1 a_2 \dots a_n \end{aligned} $$

$n$ 阶行列式性质

行列转置，行列式不变
把一行的倍数加到另一行，行列式不变
对换行列式中两行(列)位置，行列式变号
行列式中有两行(列)相同，那么行列式为 $0$
行列式中两行成比例，行列式为 $0$
行列式某行(列)元素的公因子可提到行列式符号之外
折合法求行列式 $|A+B| = |A|+|B|$ (两组数)

行列式按一行(列)拉普拉斯展开

$$ \begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} \ & = (-1)^{1+1} a_{11} M_{11} + (-1)^{1+2} a_{12} M_{12} + (-1)^{1+3} a_{13} M_{13} \end{aligned} $$

其中 $M_{ij}$ 称为余子式，$A_{ij}$ 称为代数余子式，例如：

$$ M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad A_{12} = (-1)^{1+2} M_{11} $$

例:

$$ A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \quad \text{求} A_{21} + 2A_{22} + 3A_{23} $$

某一行（列）的元素，与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零
也即 异行（列）的代数余子式展开和为 0

我们要求的是 $ 1 \cdot A*{21} + 2 \cdot A*{22} + 3 \cdot A*{23} $
注意到系数是 (1, 2, 3)，它们来自原矩阵的 第一行 ($a*{11}, a*{12}, a*{13}$)，而代数余子式的下标是 ($A*{21}, A*{22}, A_{23}$)，它们对应的是第二行的元素
这就构成了“第一行的元素”与“第二行的代数余子式”相乘再相加的情况。根据上面那个推论，这个和必然等于 0

我们可以构造一个新的行列式：

$$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 1 & 2 & 3 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot A_{21} + 2 \cdot A_{22} + 3 \cdot A_{23} = 0 $$

我们对这个新的行列式按第二行进行拉普拉斯展开，它的展开式正好就是：$ 1 \cdot A*{21} + 2 \cdot A*{22} + 3 \cdot A_{23} $
而这个新行列式的第二行和第一行完全相同，根据行列式的性质（两行成比例，则行列式为 0），它的值就是 0

范德蒙型行列式

$$ \begin{aligned} D & = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-3} & x_1^{n-2} & x_1^{n-1} \ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-3} & x_2^{n-2} & x_2^{n-1} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-3} & x_n^{n-2} & x_n^{n-1} \end{vmatrix} \ & = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) \end{aligned} $$

注意是 $x_j - x_i$

范德蒙型行列式为零 $\Longleftrightarrow a_1, a_2, \dots, a_n$ 这 $n$ 个数至少有两个数相同

从公式来看，这是一个连乘积，乘积中每个因子是 $x_j - x_i$（$i<j$）
如果所有的 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 互不相等，那么对于每一对 $i<j$，都有 $x_j-x_i\neq 0$，所以乘积不为零
如果存在某两个不同的下标 $p,q$，使得 $x_p = x_q$，那么在乘积中，至少有一对 $i,j$ 满足 $i=p,j=q$ 或调整顺序后出现在某个差里，使得 $x_j - x_i = 0$，于是整个乘积为 $0$
更直观地看：当有重复的 $x_k$ 时，矩阵会有两行完全相同（比如第 $p$ 行和第 $q$ 行），而 矩阵有两行相同则行列式为 0

严格推导

设 $x_a = x_b$ 且 $a \neq b$
在行列式中，第 $a$ 行和第 $b$ 行分别是： $ (1,\ x_a,\ x_a^2,\ \dots,\ x_a^{n-1}) $ 和 $ (1,\ x_b,\ x_b^2,\ \dots,\ x_b^{n-1}) $，由于 $x_a = x_b$，这两行完全相同
交换相同的两行，矩阵不变，但根据行列式的交错性，交换两行会使行列式变号
$ \det(\dots, R_a, \dots, R_b, \dots) = -\det(\dots, R_b, \dots, R_a, \dots) $
但这两行相同，交换后矩阵完全一样，所以 $\det = -\det$，因此 $\det = 0$

反过来，如果 $D=0$，由公式 $D=\prod_{i<j}(x_j-x_i)$ 可知，至少有一个因式 $(x_j - x_i)=0$，即 $x_j=x_i$ 对于某对 $i<j$ 成立

所以：$ D=0 \ \Longleftrightarrow \ \exists, i \neq j \text{ such that } x_i = x_j. $

推广与应用范德蒙行列式在拉格朗日插值、多项式根的唯一性等问题中有广泛应用。若将幂次推广为任意递增序列，则成为广义范德蒙行列式，但仍保持类似的乘积结构。

行列式的计算

矩阵实质是一个表
写作 $[a_{ij}]{s \times n}$ 或者 $(a{ij})_{s \times n}$，其中 $s$ 不一定等于 $n$

行列式实质是一个代数和
写作 $|a_{ij}|_n$

克拉默法则 Cramer

克拉默法则是一种用于 求解线性方程组 的方法。它有一个非常强的 前提条件：
方程组必须是 “n 个方程，n 个未知数”，并且方程组的系数行列式 D ≠ 0
满足该条件的，则可以套用这个非常“优雅”的公式解

假设有一个二元一次方程组：

$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases} $$

先写出系数行列式

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} $$

$D$ 是整个方程组的基础，如果 D = 0，克拉默法则就失效了

然后写出 “替换行列式” $D_1, D_2, …$
规则是：要解哪个未知数，就用方程右边的常数项（b 列）去替换 D 中该未知数对应的那一列

求 $x_1$：用常数项列 $\begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \end{pmatrix}$ 替换掉 $D$ 中的 第 1 列，得到新行列式

$$ D_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} $$

求 $x_2$：用常数项列 $\begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \end{pmatrix}$ 替换掉 D 中的 第 2 列，得到新行列式

$$ D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \ \ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} $$

最后通过公式计算每个未知数的值

$$ x_1 = \frac{D_1}{D}, \quad x_2 = \frac{D_2}{D} $$

推广到 n 元方程组：$x_n = \frac{D_n}{D}$

克拉默法则在数学证明和理论分析中非常有用
但是对于 n 元方程组，需要计算 (n+1) 个 n 阶行列式。当 n 很大时（比如 n>4），计算量会变得非常恐怖，远不如 高斯消元法 高效
并且使用的前提也比较苛刻，只适用于方程数等于未知数数量且系数行列式不为零的情况

直观的几何推导（以二元一次方程组为例）

考虑一个二元一次方程组

$$ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases} $$

把它写成 向量形式

$$ x \begin{bmatrix} a_{11} \ a_{21} \end{bmatrix}

y \begin{bmatrix} a_{12} \ a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \end{bmatrix} $$

行列式的几何意义：在二维空间中，两个向量构成的平行四边形的 有向面积 就是它们组成的矩阵的行列式的值

系数行列式 $D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$ 这个值就是由系数向量 $\vec{u} = (a_{11}, a_{21})$ 和 $\vec{v} = (a_{12}, a_{22})$ 张成的平行四边形的面积

下面求 x。根据向量方程：$x\vec{u} + y\vec{v} = \vec{b}$
我们构造一个新平行四边形，它的第一条边是向量 $\vec{b}$，第二条边是原来的向量 $\vec{v}$。这个新平行四边形的面积是多少呢？
根据行列式的性质，新面积就是：$\text{Area}{new} = \begin{vmatrix} b_1 & a{12} \ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} = D_1$

观察这两个平行四边形：

第一个图形：由 $x\vec{u}$ 和 $y\vec{v}$ 张成的平行四边形
第二个图形：由 $\vec{b} (=x\vec{u} + y\vec{v})$ 和 $y\vec{v}$ 张成的平行四边形

由于 $\vec{b} = x\vec{u} + y\vec{v}$，从几何上看，这两个平行四边形的面积是相等的！因为它们有相同的底边（与 $\vec{v}$ 平行）和相同的高

那么第一个图形的面积为 $x \times (\text{由 }\vec{u}\text{ 和 }\vec{v}\text{ 张成的面积}) = x \cdot D$
第二个图形的面积为 $D_1$
因此：$x \cdot D = D_1$，即 $x = \frac{D_1}{D}$

同理，用类似方法可以推导出 $y = \frac{D_2}{D}$

通用的代数推导（利用逆矩阵）

上述几何推导适用于二维情况，下面的推导适用于任意维度

对于 n 元线性方程组，可以写成：$A\vec{x} = \vec{b}$
其中 $A$ 是系数矩阵，$\vec{x}$ 是未知数列向量，$\vec{b}$ 是常数列向量

如果 $A$ 可逆（即 $\det(A) = D \neq 0$），那么：$\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$
因为逆矩阵可以用伴随矩阵来表示，所以 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$，其中 $\text{adj}(A)$ 是 $A$ 的伴随矩阵，它的元素是 $A$ 的各个代数余子式
于是 $\vec{x} = A^{-1}\vec{b} = \frac{1}{\det}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \cdot \vec{b}$

现在我们只看解向量 $\vec{x}$ 的第一个分量 $x_1$。根据矩阵乘法规则，$x_1$ 等于 $\frac{1}{\det}{\det(A)}$ 乘以 $(\text{adj}(A) \cdot \vec{b})$ 的第一个元素
而 $(\text{adj}(A) \cdot \vec{b})$ 的第一个元素是 $C_{11}b_1 + C_{21}b_2 + \cdots + C_{n1}b_n$，这里 $C_{ij}$ 是 $A$ 的代数余子式

仔细观察 $C_{11}b_1 + C_{21}b_2 + \cdots + C_{n1}b_n$，这恰好就是把矩阵 $A$ 的第一列换成 $\vec{b}$ 后，按第一列展开的行列式
对于一个矩阵，按某一列展开求行列式时，就是用该列的元素乘以对应的代数余子式然后求和。现在我们正是用 $b_1, b_2, …, b_n$ 代替了原来的第一列，然后还是用原来的代数余子式进行加权求和
因此 $C_{11}b_1 + C_{21}b_2 + \cdots + C_{n1}b_n = \det(A_1)$，其中 $A_1$ 就是把 $A$ 的第一列换成 $\vec{b}$ 后得到的矩阵

同样的推理适用于每一个 $x_k$：要解哪个变量，就用 $\vec{b}$ 替换 $A$ 的对应列，然后计算这个新矩阵的行列式

为什么克拉默法则可行？

从几何角度看，它基于 面积/体积的比例关系 ——未知数的值反映了当用常数项替换某个系数列时，整个“多维体积”发生了怎样的比例变化

从代数角度看，它是 逆矩阵公式的直接推论——当我们把逆矩阵显式地写出来时，每一项都恰好对应于一个替换列后的行列式

拉普拉斯定理 · 行列式乘法规则

k 阶子式

通俗理解：想象一个大的 n x n 的数字表格（即 n 阶行列式）。如果从这个大表格里任意挑出 k 行和 k 列，那么这些行列交叉位置上的 k x k 个小格子会构成一个新的、小一点的行列式
这个小的行列式就叫做原大行列式的一个 k 阶子式

有一个 $n$ 阶行列式

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$

取 1、3 行和 1、2 列

$$ M = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} $$

称 M 为 D 的一个二阶子式

从一个 $n$ 阶行列式中，可以选出 $C_n^k$ 种不同的行组合，和 $C_n^k$ 种不同的列组合
所以任一 $n$ 级行列式都有 $C_n^k C_n^k$ 个 $k$ 级子式

拉普拉斯定理

拉普拉斯定理告诉我们，当行列式呈现出某种特殊的“分块”结构时，我们可以把它分解成几个小行列式的乘积，从而大大简化计算

$$ \begin{vmatrix} \Delta & * \ 0 & \square \end{vmatrix} = |\Delta| |\square| $$

上述行列式称为主线形式（分块上三角或下三角），它被分成了四个块：Δ, *, 0, □
Δ 和 □ 是方阵（比如都是 2x2 的），* 区域代表任意数字，是什么都无所谓
关键是左下角是一个 零矩阵 (0)，整个大行列式的值，就等于 左上角方块 Δ 的行列式 乘以 右下角方块 □ 的行列式

$$ \begin{vmatrix}

& \Delta_n \ \square_m & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |\Delta| |\square| $$

上述行列式称为副线形式（分块反对角线），这个行列式也被分成了四个块，但零矩阵出现在了右下角
Δ 是一个 n x n 的方阵，位于右上角，□ 是一个 m x m 的方阵，位于左下角
整个大行列式的值，等于 (-1)的(m×n)次方 乘以 Δ 的行列式 再乘以 □ 的行列式

为什么有 (-1)^(m×n)？
这来自于将矩阵通过行/列交换，变换成第一种“主线形式”所需要的步骤数。每交换一次相邻的行或列，行列式就要变一次号
要把 □ 挪到左上角，把 Δ 挪到右下角，总共需要交换 m×n 次，所以会产生 (-1)^(m×n) 这个符号因子

行列式计算方法清单
- 定义法
  
  最根本的方法，直接使用行列式的数学定义（基于排列的逆序数）进行计算。对于高阶行列式非常繁琐，通常只用于理论推导或非常简单的低阶情况。
- 化三角法
  
  最常用、最重要的方法！ 利用行列式的性质，通过行/列变换（倍加、互换、倍乘）将行列式化为上三角或下三角矩阵
  三角矩阵的行列式就等于其主对角线上所有元素的乘积
- 拆(合)法
  
  利用行列式的线性性质，可以将一行（或一列）拆分成两行之和，从而将原行列式拆解为两个更简单的 行列式之和。反过来也可以用
- 全行列式法
  
  （此名称不常见，可能指利用行列式的完全展开式，或者是指一种系统的展开方法）
- 范德蒙行列式
  
  这是一个“公式”，专门用于处理特定结构的行列式
- 降阶法（按一行/列展开）
  
  这是拉普拉斯定理在 k=1 时的特例。选择零较多的一行或一列，将该行的每个元素与其对应的代数余子式相乘并求和，将一个 n 阶行列式降为 n 个 (n-1) 阶行列式的计算。
- 乘积法
  
  指的是 |AB| = |A| × |B| 这个性质。如果你能看出某个复杂行列式是两个已知行列式的矩阵的乘积，那么直接算两个简单的再相乘即可
- 数学归纳法
  
  用于证明具有递推关系的行列式公式。先验证 n=1 时成立，再假设 n=k 时成立，去证明 n=k+1 时也成立
- 递推法
  
  通过行列式的行/列变换，找出一个 n 阶行列式 Dₙ 与低阶行列式（如 Dₙ₋₁, Dₙ₋₂）之间的关系式（递推公式），然后像解数列一样解出 Dₙ 的表达式
- 加边法（升阶法）
  
  一个巧妙的技巧。给原来的 n 阶行列式加一行（通常在顶上加上加一行，如 1, 0, 0,…）和一列（通常在左边加一列，如 1, 0, 0,…），使其变成一个 (n+1) 阶的行列式
  通过巧妙设计新加的元素，有时能使新行列式更容易化简和计算，而最终最终结果与原行列式相同

线性方程组

消元法

一般线性方程组

$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \ \vdots \ a_{s1}x_1 + a_{s2}x_2 + \dots + a_{sn}x_n = b_s \end{cases} \quad (1) $$

(1) 的系数矩阵

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{s1} & a_{s2} & \dots & a_{sn} \end{bmatrix} $$

(1) 的增广矩阵

$$ \bar{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a_{s1} & a_{s2} & \dots & a_{sn} & b_s \end{bmatrix} $$

用消元法解一般线性方程组，最终得到一个阶梯形方程组。

$$ \begin{bmatrix} x & x & x & x \ 0 & x & x & x \ 0 & 0 & 0 & x \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad (1) \text{无解} $$

$$ \begin{bmatrix} x & x & x & x \ 0 & x & x & x \ 0 & 0 & x & x \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad (1) \text{有解} $$

转换后得到的阶梯矩阵：

方程数 (不全为 0) = 系数的列数 $\Rightarrow$ 有唯一解
方程数 (不全为 0) < 系数的列数 $\Rightarrow$ 有无穷多解 (用自由变量表示)

$$ \begin{bmatrix} x & x & x & x \ 0 & x & x & x \ 0 & 0 & x & x \end{bmatrix} \quad \text{有 } 3 \text{ 个方程} $$

$$ \begin{bmatrix} x & x & x & x \ 0 & x & x & x \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \text{有 } 2 \text{ 个方程} $$

齐次线性方程组

(1) 式的 $b_1, \dots, b_s$ 全为 0 时
若方程个数 $s <$ 方程系数列数 $n \Rightarrow$ 齐次有非零解

n 维向量空间

n 维向量 数域 $P$ 中 $n$ 个数组成的有序数组 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ (1) $a_i$ 是向量 (1) 的分量。
n 维向量空间 以数域 $P$ 中的数作为分量的 $n$ 维向量的全体，同时考虑定义在它们上的加法与数乘。
n 维向量运算 — 加法、数量乘积
构成 $P^n$ 条件：
- 非空
- 对加法/数乘封闭
- 满足 8 性质 (计算) 又称 $n$ 维线性空间。

线性相关性

线性组合：若有数域 $P$ 中数 $k_1, k_2, \dots, k_s$ 使 $\vec{\gamma} = k_1\vec{\beta_1} + k_2\vec{\beta_2} + \dots + k_s\vec{\beta_s}$，则称 $\vec{\gamma}$ 为向量组 $\vec{\beta_1}, \vec{\beta_2}, \dots, \vec{\beta_s}$ 的一个线性组合。 ( $\vec{\gamma}$ 可由向量组 $\vec{\beta_1}, \vec{\beta_2}, \dots, \vec{\beta_s}$ 线性表出)。
向量组等价：两个向量组可互相线性表出。相关性质：
1. 反身性 (自反性)：任意一组向量 (I) 都可由 (I) 线性表出。
2. 对称性：(I) 可用 (II) 线性表出，(II) 也可由 (I) 线性表出。
3. 传递性：(I) 与 (II) 等价，(II) 与 (III) 等价，那么 (I) 与 (III) 等价。
线性相关与线性无关 如果向量组 $\vec{\gamma_1}, \vec{\gamma_2}, \dots, \vec{\gamma_s}$ ($s \ge 2$) 中有存在一个向量可由其余的向量线性表出，则称其线性相关。如果向量组 $\vec{\gamma_1}, \vec{\gamma_2}, \dots, \vec{\gamma_s}$ ($s \ge 2$) 中任意一个向量都不能由其余的向量线性表出，则称其线性无关。

如果有数域 $P$ 中不全为 $0$ 的数 $k_1, k_2, \dots, k_s$ 使 $k_1\vec{\gamma_1} + k_2\vec{\gamma_2} + \dots + k_s\vec{\gamma_s} = \vec{0}$，则称其线性相关。如果不存在一组不全为 $0$ 的数 $k_1, k_2, \dots, k_s$ 使 $k_1\vec{\gamma_1} + k_2\vec{\gamma_2} + \dots + k_s\vec{\gamma_s} = \vec{0}$ (即若 $k_1\vec{\gamma_1} + k_2\vec{\gamma_2} + \dots + k_s\vec{\gamma_s} = \vec{0}$ 则 $k_1, \dots, k_s$ 全为 $0$)，则称其线性无关。
线性相关的特殊
1. $\vec{\alpha}$ 与 $\vec{\beta}$ 成比例 $\iff \exists k$ 使 $\vec{\alpha} = k\vec{\beta}$ 或 $\vec{\beta} = k\vec{\alpha}$。
2. $\vec{0}$ 可由任一向量组线性表出。
3. 任一 $n$ 维向量 $\vec{\gamma} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ 都是向量组 $$ \begin{cases} \vec{\epsilon_1} = (1, 0, \dots, 0) \ \vec{\epsilon_2} = (0, 1, \dots, 0) \ \vdots \ \vec{\epsilon_n} = (0, 0, \dots, 1) \end{cases} \quad \text{的线性组合 (n维单位向量组)} $$
4. 任意一个含零向量的向量组必线性相关。
线性相关性的有关性质 (8 条)
1. $\vec{\gamma} = \vec{0} \iff \vec{\gamma}$ 线性相关 $\vec{\gamma} \ne \vec{0} \iff \vec{\gamma}$ 线性无关
2. 一向量组中若有一向量为 $\vec{0}$，则该向量组一定线性相关。
3. 一向量组线性相关 $\iff$ 至少有一向量可由其余向量线性表出 (向量组中向量数 > 1)。
4. $$ \begin{cases} \text{部分相关} \Rightarrow \text{整体相关} \ \not\Leftarrow \ \text{整体无关} \Rightarrow \text{部分无关} \ \not\Leftarrow \end{cases} $$
5. 若向量 $\vec{\alpha_1}, \vec{\alpha_2}, \dots, \vec{\alpha_s}$ 线性无关，而 $\vec{\alpha_1}, \vec{\alpha_2}, \dots, \vec{\alpha_s}, \vec{\beta}$ 线性相关，则 $\vec{\beta}$ 可由 $\vec{\alpha_1}, \vec{\alpha_2}, \dots, \vec{\alpha_s}$ 线性表出，且表示法唯一。
6. 向量组 $\vec{\alpha_i} = (a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in})$, $i=1, \dots, s$ 线性无关 $\iff$ 齐次线性方程组 $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{21}x_2 + \dots + a_{s1}x_s = 0 \ a_{12}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{s2}x_s = 0 \ \vdots \ a_{1n}x_1 + a_{2n}x_2 + \dots + a_{sn}x_s = 0 \end{cases} \quad \text{只有零解} $$ $|A|=0 \iff \vec{\alpha_1}, \dots, \vec{\alpha_n}$ 线性相关 $\iff$ 有非零解。 $|A| \ne 0 \iff \vec{\alpha_1}, \dots, \vec{\alpha_n}$ 线性无关 $\iff$ 只有零解。
7. $$ \begin{cases} \text{线性无关} \Rightarrow \text{增加分量也线性无关 (延伸组)} \ \not\Rightarrow \text{减少分量} \ \text{线性相关} \Rightarrow \text{减少分量也线性相关 (缩短组)} \ \not\Rightarrow \text{增加分量} \end{cases} $$
8. $\vec{\alpha_1}, \vec{\alpha_2}, \dots, \vec{\alpha_r}$ 由 $\vec{\beta_1}, \vec{\beta_2}, \dots, \vec{\beta_s}$ 线性表出 ($r > s$)，那么 $\vec{\alpha_1}, \dots, \vec{\alpha_r}$ 线性相关。 (个数多的向量组由少的线性表出，那么个数多的线性相关)。
推论 1：$\vec{\alpha_1}, \vec{\alpha_2}, \dots, \vec{\alpha_r}$ (I) 线性无关 + (I) 由 $\vec{\beta_1}, \vec{\beta_2}, \dots, \vec{\beta_s}$ (II) 线性表出 $\Rightarrow r \le s$。
推论 2：任意 $m (>n)$ 个 $n$ 维向量必线性相关。
推论 3：两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量。

极大线性无关组
- 定义：一向量组的一个部分组称为一个极大无关组，如果该部分组本身线性无关，且从这向量组中任意添一向量，所得的组线性相关。（极大无关组是直接取出的部分组，本身线性无关；向量组中的任意向量可由该部分组线性表出）
1. 一个向量组的极大无关组不唯一（相关的情况下）
- 包含非 0 向量的向量组有极大无关组（线性相关）
- 全为 0 的向量组无极大无关组（线性无关）
1. 一个线性无关的向量组的极大无关组是自身（唯一）
2. 向量组与它的任一极大无关组等价
3. 一个向量组的任意两个极大无关组都等价
4. 一个向量组的任意两个极大无关组都含相同个数的向量
向量组的秩
- 定义：向量组的极大线性无关组所含向量个数
1. $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 线性无关 $\iff r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)=s$（与前非 0 组一样）相关 $\iff r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)<s\ (s\geq1)$
2. 等价向量组必有相同的秩，反之 ×
3. 全为 0 的向量组，无极大无关组，秩为 0
4. 若 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 可由 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$ 线性表出，则秩 ${\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s}\leq$ 秩 ${\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t}$

矩阵的秩

矩阵的行/列秩
若齐次线性方程组的系数矩阵 $A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\ \vdots&\vdots&&\vdots\ a_{s1}&a_{s2}&\dots&a_{sn} \end{bmatrix}$ 的行秩为 $r$

$|A|=0$ 当 $r<n$ 时 $\iff$ 有非零解 $\iff t<n$（$t$ 为非零行数） $|A|\neq0$ 当 $r=n$ 时 $\iff$ 只有唯一零解 $\iff t=n$

$A$的秩$=A$的列（行）秩

矩阵秩的有关结论

设$A=(a_{ij})_{n×n}$，则 $|A|=0\iff r(A)<n$（降秩矩阵） $|A|\neq0\iff r(A)=n$（满秩矩阵）
- 推论 1：齐次线性方程组有非零解$\iff$系数矩阵$A=(a_{ij})_{m×n}$的$|A|=0$ $\iff r(A)<n\iff A$ 为退化矩阵
只有零解$\iff|A|\neq0\iff r(A)=n\iff A$为非退化矩阵
- 推论 2：$n$个$n$维向量$\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in})$$(i=1,2,\dots,n)$ 行列式$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\ \dots&\dots&\dots&\dots\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix}=0\iff$ 线性相关 $\neq0\iff$线性无关
$S×n$矩阵$A$的$k$级子式有$C_S^kC_n^k$个

$r(A)=r\iff A$中有一$r$级子式$\neq0$且所有$r+1$级子式$=0$

§5 线性方程组有解判别定理

设线性方程组

$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \ \cdots \ a_{s1}x_1 + a_{s2}x_2 + \dots + a_{sn}x_n = b_s \ \end{cases} \quad (1) $$

其系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\overline{A}$ 分别为： $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{s1} & a_{s2} & \dots & a_{sn} \end{bmatrix}, \quad \overline{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2 \ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \ a_{s1} & a_{s2} & \dots & a_{sn} & b_s \end{bmatrix}$$

引入向量： $$\alpha_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ \vdots \ a_{s1} \end{pmatrix},\ \alpha_2 = \begin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ \vdots \ a_{s2} \end{pmatrix},\ \dots,\ \alpha_n = \begin{pmatrix} a_{1n} \ a_{2n} \ \vdots \ a_{sn} \end{pmatrix},\ \beta = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ \vdots \ b_s \end{pmatrix}$$

若 (1) 有解，则 $\exists (k_1, k_2, \dots, k_n)$，使得： $$\begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ \vdots \ b_s \end{pmatrix} = \beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_n\alpha_n = \begin{bmatrix} a_{11}k_1 + a_{12}k_2 + \dots + a_{1n}k_n \ a_{21}k_1 + a_{22}k_2 + \dots + a_{2n}k_n \ \dots \ a_{s1}k_1 + a_{s2}k_2 + \dots + a_{sn}k_n \end{bmatrix}$$

则 (1) 有解 $\iff \beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 线性表出 $\quad \iff \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\ (I)$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n, \beta\ (II)$ 等价 $\quad \iff$ 秩 $(\alpha_1, \dots, \alpha_n) =$ 秩 $(\alpha_1, \dots, \alpha_n, \beta)$ $\quad \iff$ (1) 的系数矩阵 $A$ 的秩 = (1) 的增广矩阵 $\overline{A}$ 的秩

结论：设向量组 $(I)$ 为向量组 $(II)$ 的部分组，则 $(I)$ 与 $(II)$ 等价 $\iff r(I) = r(II)$

（证明）$\Leftarrow$ 设 $r(I) = r(II) = r$，设 $\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \dots, \alpha_{ir}$ (II) 为 (I) 的极大线性无关组

齐次线性方程组（求基础解系）	一般线性方程组（求基础解系）
对齐次线性方程组的系数矩阵 $ A $ 作初等行变换（齐次～必有解）	对一般线性方程组的增广矩阵 $ \overline{A} $ 作初等行变换根据阶梯形判断是否有解
化为行简化阶梯形	化为行简化阶梯形
写一般解，进而基础解系 $ x{r+1}, x{r+2}, \dots, x_n $ 为自由未知量	无穷多个解，写特解 $ \gamma_0 $ （令=右边的自由未知量为 0）
	写导出组的一般解，进而基础解系（去掉最后一项常数项）
写解的结构 $ y = k_1\eta_1 + \dots + k_t\eta_t $	写解的结构 $ \gamma = \gamma_0 + k_1\eta_1 + \dots + k_t\eta_t $ （$ k_1, k_2, \dots, k_t \in P $）

⭕ 方程组的几何解释

如何求解线性方程组？
假设方程组有 $2$ 个未知数，一共有 $2$ 个方程：

$$ \begin{cases} 2x& - y& = 0 \ -x& + 2y& = 3 \end{cases} $$，

写作矩阵形式有

\begin{bmatrix} 2&-1\-1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\y \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0\3 \end{bmatrix}

通常我们把第一个矩阵称为系数矩阵 $A$，将第二个矩阵称为向量 $x$，将第三个矩阵称为向量 $b$，于是线性方程组可以表示为 $Ax=b$

分别来看方程组的“行图像”和“列图像” 行图像，即直角坐标系中的图像：

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%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns

x = [-2, 2, -2, 2]
y = [-4, 4, 0.5, 2.5]
# -2、-4 满足第一行方程
# 2、4 满足第一行方程
# -2、0.5 满足第二行方程
# 2、2.5 满足第二行方程

fig = plt.figure()
plt.axhline(y=0, c='black')
plt.axvline(x=0, c='black')

plt.plot(x[:2], y[:2], x[2:], y[2:])

plt.draw()
# plt.close(fig)

上图是我们都很熟悉的直角坐标系中两直线相交的情况接下来我们按列观察方程组

x\begin{bmatrix} 2\-1 \end{bmatrix}

y\begin{bmatrix} -1\2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0\3 \end{bmatrix} $$

我们把第一个向量称作 $col_1$，第二个向量称作 $col_2$，以表示第一列向量和第二列向量
要使得式子成立，需要第一个向量加上两倍的第二个向量，即

$$ 1\begin{bmatrix} 2\-1 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} -1\2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0\3 \end{bmatrix} $$

现在来看列图像，在二维平面上画出上面的列向量

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from functools import partial

fig = plt.figure()
plt.axhline(y=0, c='black')
plt.axvline(x=0, c='black')
ax = plt.gca()
ax.set_xlim(-2.5, 2.5)
ax.set_ylim(-3, 4)

arrow_vector = partial(plt.arrow, width=0.01, head_width=0.1, head_length=0.2, length_includes_head=True)

arrow_vector(0, 0, 2, -1, color='g')
arrow_vector(0, 0, -1, 2, color='c')
arrow_vector(2, -1, -2, 4, color='b')
arrow_vector(0, 0, 0, 3, width=0.05, color='r')

plt.draw()
# plt.close(fig)

如图，绿向量 $col_1$ 与蓝向量（两倍的蓝绿向量 $col_2$）合成红向量 $b$

继续观察，发现 $col_1,col_2$ 的某种线性组合得到了向量 $b$，那么 $col_1,col_2$ 的所有线性组合能够得到什么结果？它们将铺满整个平面

下面进入三个未知数的方程组

$$ \begin{cases} 2x& -y& & = 0\ -x& +2y& -z& = -1\ & -3y& +4z& = 4 \end{cases} $$

写作矩阵形式

$$ A = \begin{bmatrix} 2&-1&0\ -1&2&-1\ 0&-3&4 \end{bmatrix},
b = \begin{bmatrix} 0\-1\4 \end{bmatrix} $$

在三维直角坐标系中，每一个方程将确定一个平面，而例子中的三个平面会相交于一点，这个点就是方程组的解

同样的，将方程组写成列向量的线性组合，观察列图像

$$ x\begin{bmatrix} 2\-1\0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -1\2\-3 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 0\-1\4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0\-1\4 \end{bmatrix} $$

易知最后一个列向量恰巧等于等式右边的 $b$ 向量，所以我们需要的线性组合为 $x=0,y=0,z=1$
假设我们令 $b=\begin{bmatrix}1\1\-3\end{bmatrix}$，则需要的线性组合为 $x=1,y=1,z=0$

我们并不能总是这么轻易的求出正确的线性组合，所以需要一种线性方程组的系统性解法——消元法

现在，我们需要考虑，对于任意的 $b$，是否都能求解 $Ax=b$？
用列向量线性组合的观点阐述就是，列向量的线性组合能否覆盖整个三维向量空间？
对上面这个例子，答案是肯定的，这个例子中的 $A$ 是我们喜欢的矩阵类型，但是对另一些矩阵，答案是否定的。那么 在什么情况下，三个向量的线性组合得不到 $b$ ？
——如果 三个向量在同一个平面上，问题就出现了——那么 他们的线性组合也一定都在这个平面上。举个例子，比如 $col_3=col_1+col_2$，那么不管怎么组合，这三个向量的结果都 逃不出这个平面，因此 当 $b$ 在平面内，方程组有解，而当 $b$ 不在平面内，这三个列向量就无法构造出 $b$。在后面的课程中，我们会了解到这种情形称为奇异、矩阵不可逆

下面我们推广到九维空间，每个方程有九个未知数，共九个方程，此时已经无法从坐标图像中描述问题了，但是我们依然可以从求九维列向量线性组合的角度解决问题
仍然是上面的问题，是否总能得到 $b$？当然这仍取决于这九个向量，如果我们取一些并不 相互独立的向量，则答案是否定的，比如取了九列但其实只相当于八列，有一列毫无贡献（这一列是前面列的某种线性组合），则会有一部分 $b$ 无法求得

接下来介绍方程的矩阵形式 $Ax=b$，这是一种乘法运算，举个例子，取 $A=\begin{bmatrix}2&5\1&3\end{bmatrix},\ x=\begin{bmatrix}1\2\end{bmatrix}$，来看如何计算 矩阵乘以向量

列向量线性组合 的方式，一次计算一列

$$ \begin{bmatrix}2&5\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\2\end{bmatrix}

1\begin{bmatrix}2\1\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}5\3\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}12\7\end{bmatrix} $$

将 $Ax$ 看做 $A$ 列向量的线性组合
使用 向量内积
矩阵第一行向量点乘 $x$ 向量 $$ \begin{bmatrix}2&5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}^T

12,\ \begin{bmatrix}1&3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}^T

7 $$

“等价矩阵”和“等价向量组”之间的区别

等价矩阵（Equivalent Matrices）

定义：
两个矩阵 $A$ 和 $B$ 称为等价矩阵，如果存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$，使得 $B = P A Q$
这里，$P$ 和 $Q$ 是分别对矩阵 $A$ 的行和列进行初等变换的可逆矩阵。

意义：
等价矩阵表示通过行变换和列变换可以互相变换的矩阵。等价矩阵 保持矩阵的秩不变，是矩阵之间一种较强的等价关系。

例子： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & -2 \end{pmatrix}$ 是行等价的（R2 - 3R1）。因此，它们也是等价矩阵。它们的秩都是 2。

等价向量组（Equivalent Vector Groups）

定义：
两个向量组 ${\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_m}$ 和 ${\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_m}$ 称为等价向量组，如果它们生成相同的向量空间（即它们的线性表示能力相同）
或者说，两个向量组之间可以通过可逆线性变换相互表示

意义：
等价向量组强调的是向量组所张成的子空间相同，或者说它们的线性相关性结构相同。

例子： 向量组 $\alpha_1 = (1, 0)$, $\alpha_2 = (0, 1)$ 向量组 $\beta_1 = (1, 1)$, $\beta_2 = (1, -1)$

$\alpha_1 = \frac{1}{2}\beta_1 + \frac{1}{2}\beta_2$
$\alpha_2 = \frac{1}{2}\beta_1 - \frac{1}{2}\beta_2$
$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$
$\beta_2 = \alpha_1 - \alpha_2$

主要区别总结

方面	等价矩阵	等价向量组
对象	矩阵	向量组
变换方式	行变换和列变换（双边变换）	可逆线性变换（向量组之间的线性变换）
关注点	矩阵的秩、结构	向量组张成的空间
关系	$B = P A Q$	两组向量张成同一子空间
应用	矩阵简化、秩的判定	判断向量组是否等价、线性无关性分析

说两个矩阵等价，意思是它们形状一样(m x n)，并且非零信息量（秩）相同。你可以通过行和列的混合操作（初等变换）把一个变成另一个。说两个向量组等价，意思是它们张成的空间完全一样。一个组里的每个向量都能用另一个组里的向量“拼凑”（线性组合）出来，反之亦然。

实例对比

矩阵等价： $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 等价（秩均为 1），但对应的列向量组不等价（无法互相线性表示）。

向量组等价：向量组 ${(1,0), (0,1)}$ 和 ${(1,1), (1,-1)}$ 等价（均为 $\mathbb{R}^2$ 的基），但若写成矩阵形式 $A = I_2$ 和 $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}$，它们不等价（除非引入相似变换）。

3blue1brown

什么是向量？它有长度和方向，可以理解为有序的数字列表

不同的基向量可以理解为不同的坐标系共线的基向量张成的空间是直线什么是基？张成该空间的线性无关的向量集

什么是线性变换？直线经过变换仍为直线，原点不动，网络线保持平行且等距分布

线性代数可以求解特定的线性方程组

矩阵乘法是两个变换相继作用

什么都不做的变换称为恒等变换

无法将一条直线 “解压缩” 为一个平面？因为这个要求一条直线被映射为多个向量，而函数只能将一个输入变换为一个输出

什么是矩阵的秩？经过该矩阵变换后的空间的维度

矩阵 A 的列空间即基向量 $\vec{v}$ 讲过矩阵 $A$ 变换后的向量 $A\vec{v}$ 构成的空间

向量的叉积即两个向量构成的平行四边形的面积，也是 $det([\vec{v}, \vec{w}])$

特征向量若向量 $\vec{v}$ 是 $A$ 的特征向量，则 $v$ 会在变换 $A\vec{v}$ 后停留在它张成的子空间里

$$ A\vec{v} = \lambda \vec{v} \ A\vec{v}-\lambda \vec{v} = \vec{0} \ (A-\lambda)\vec{v} = \vec{0} \ det((A-\lambda)\vec{v}) = 0 \quad 得到 \lambda 带回上式计算得 \vec{v}\ $$

特征向量方向固定，经过变换 $A$ 后被拉伸为原来的 $\lambda$ 倍

基向量可以是特征向量，例如：对角矩阵。也可以将特征向量转换为基向量，即寻找特征基

线性的严格定义

$$ L(\vec{v} + \vec{w}) = L(\vec{v}) + L(\vec{w}) \ L(c\vec{v}) = cL(\vec{v}) $$

公理不是自然法则而是媒介普适的代价是抽象

大型稀疏矩阵在生活中的应用

大型稀疏矩阵在生活中的应用非常广泛，例如：

搜索引擎：搜索引擎索引的网页可以看作是一个巨大的稀疏矩阵，其中每一行代表一个网页，每一列代表一个关键词，非零元素表示该网页包含该关键词。

推荐系统：推荐系统利用用户对商品的评分数据构建用户评分矩阵，该矩阵通常是一个大型稀疏矩阵，其中每一行代表一个用户，每一列代表一个商品，非零元素表示该用户对该商品的评分。

图像处理：图像处理中的滤波器通常是一个稀疏矩阵，其中非零元素表示滤波器的权值。在图像压缩中，离散余弦变换（DCT）也会生成一个大型稀疏矩阵。

自然语言处理：在自然语言处理中，通常需要构建文本的共现矩阵，该矩阵也是一个大型稀疏矩阵，其中每一行代表一个单词，每一列代表一个文本，非零元素表示该单词在该文本中出现。

网络分析：社交网络和通信网络都可以表示为一个稀疏矩阵，其中每一行代表一个节点，每一列代表一个节点或边，非零元素表示两个节点之间存在连接。