记录生活高等数学笔记（上册）
参考资料
- https://gitee.com/jason_ren/advanced-math-note/tree/main/notes
- https://www.cnblogs.com/ixtwuko/p/advanced-mathematics.html
- 2023版张宇考研数学基础30讲
第一章 函数与极限
1.1 函数
函数的定义
设 $x$ 和 $y$ 是两个变量, $D$ 是一个非空实数集。如果对于每一个 $x \in D$, 按照某个确定的对应法则 $f$, 都有 唯一确定的实数 $y$ 与之对应, 则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的 函数, 记作
$$ y = f(x), \quad x \in D $$
其中 $x$ 称为 自变量, $y$ 称为 因变量
$D$ 称为 定义域
$f(D)={y\mid y=f(x), x\in D}$ 称为 值域
函数的表示方法
- 解析法（公式法）：如 $y = \sin x$, $y = \ln x$
- 表格法：列出自变量与函数值的对应表
- 图像法：在坐标系中画出函数曲线
函数的性质
设函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义
| 性质 | 定义 | 判定 |
|---|---|---|
| 有界性 | 存在 $M>0$, 使 $\forall x \in I$, $\lvert f(x) \rvert \le M$ | 若 $\lim \limits_{x\to x_0} f(x)$ 存在, 则在 $x_0$ 附近有界 |
| 单调性 | $\forall x_1<x_2$, 恒有 $f(x_1)<f(x_2)$（增）或 $f(x_1)>f(x_2)$（减） | 导数符号（可导时） |
| 奇偶性 | 定义域关于原点对称：奇函数 $f(-x)=-f(x)$；偶函数 $f(-x)=f(x)$ | 奇函数图像关于原点对称, 偶函数关于 $y$ 轴对称 |
| 周期性 | 存在 $T>0$, 使 $f(x+T)=f(x)$, 最小正周期称为周期 | 如 $\sin x,\cos x$ 周期 $2\pi$, $\tan x$ 周期 $\pi$ |
函数的运算方法
-
四则运算
$$ (f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x) \ (f\cdot g)(x)=f(x)g(x) \ \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} \quad (g(x)\ne 0) $$
-
复合运算
设 $y=f(u)$, $u=g(x)$, 且 $g(x)$ 的值域包含在 $f$ 的定义域内, 则 $y=f(g(x))$ 为复合函数
-
反函数
若 $f$ 是单射, 则存在反函数 $f^{-1}$, 满足 $f^{-1}(y)=x \iff y=f(x)$
性质：$f^{-1}(f(x))=x$, $f(f^{-1}(y))=y$
反函数与原函数图像关于 $y=x$ 对称
初等函数
基本初等函数（六类）：
- 常数函数：$y = C$
- 幂函数：$y = x^\mu$（$\mu \in \mathbb{R}$）
- 指数函数：$y = a^x$（$a>0, a\ne 1$）
- 对数函数：$y = \log_a x$（$a>0, a\ne 1$）, 常用 $\ln x = \log_e x$
- 三角函数：$\sin x,\cos x,\tan x,\cot x,\sec x,\csc x$
- 反三角函数：$\arcsin x,\arccos x,\arctan x,\operatorname{arccot} x$
初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算, 并能用一个式子表示的函数
例如：$y = e^{\sin x^2}$, $y = \sqrt{1-x^2}$
1.2 数列的极限
数列极限的定义
设 ${x_n}$ 为一数列, $a$ 是常数。若 $\forall \varepsilon>0$, $\exists N \in \mathbb{N}^+$, 使得当 $n>N$ 时, 有 $|x_n - a| < \varepsilon$, 则称 $a$ 是数列 ${x_n}$ 的极限, 记作
$$ \lim \limits_{n\to\infty} x_n = a \quad \text{或} \quad x_n \to a\ (n\to\infty) $$
若极限不存在, 则称数列 发散
几何解释：对于任意给定的 $\varepsilon$ 邻域 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$, 总存在 $N$, 使得第 $N+1$ 项以后的所有项都落在这个邻域内
数列极限的性质
- 唯一性：若极限存在, 则必唯一。
- 有界性：收敛数列必有界（反之不真, 如 $(-1)^n$ 有界但不收敛）。
- 保号性：若 $\lim x_n = a > 0$, 则存在 $N$, 当 $n>N$ 时 $x_n > 0$。
推论：若 $x_n \ge 0$ 且极限存在, 则极限 $\ge 0$。 - 子列收敛性：若数列收敛于 $a$, 则它的任何子列也收敛于 $a$。
逆否命题：若存在两个子列收敛到不同极限, 或某个子列发散, 则原数列发散。
1.3 函数的极限
一、自变量趋于有限值 $x \to x_0$
定义（$\varepsilon$-$\delta$ 语言）：
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义, $A$ 为常数。若 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, 使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时, 有 $|f(x)-A| < \varepsilon$, 则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限, 记作
$$ \lim \limits_{x\to x_0} f(x) = A $$
单侧极限：
- 左极限：$\displaystyle \lim \limits_{x\to x_0^-} f(x) = A$（仅考虑 $x < x_0$, 用 $0<x_0-x<\delta$）
- 右极限：$\displaystyle \lim \limits_{x\to x_0^+} f(x) = A$（仅考虑 $x > x_0$, 用 $0<x-x_0<\delta$）
极限存在的充要条件：$\displaystyle \lim \limits_{x\to x_0} f(x) = A \iff \lim \limits_{x\to x_0^-} f(x) = \lim \limits_{x\to x_0^+} f(x) = A$
性质（与数列极限类似）：唯一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系（Heine 定理）
二、自变量趋于无穷大 $x \to \infty$
定义（$X$-$\varepsilon$ 语言）：
设 $f(x)$ 当 $|x| > M$ 时有定义。若 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists X > 0$, 使得当 $|x| > X$ 时, 有 $|f(x)-A| < \varepsilon$, 则称
$$ \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = A $$
类似地可定义 $\lim \limits_{x\to +\infty} f(x)$ 和 $\lim \limits_{x\to -\infty} f(x)$
性质：同样有唯一性、局部有界性（在无穷远处）、保号性
1.4 无穷小量与无穷大量
无穷小量
定义：若 $\lim f(x) = 0$（在某一极限过程中）, 则称 $f(x)$ 是无穷小量（简称无穷小）
性质：
- 有限个无穷小的 和、积 仍是无穷小
- 有界函数与无穷小的乘积是无穷小（如 $x\sin\frac1x \to 0$）
- 常数乘以无穷小仍是无穷小
无穷大量
定义：若 $\forall M>0$, $\exists \delta>0$（或 $X>0$）, 使得 $0<|x-x_0|<\delta$（或 $|x|>X$）时, $|f(x)| > M$, 则称 $f(x)$ 为无穷大量, 记作 $\lim f(x) = \infty$
正无穷大 $+\infty$ 和 负无穷大 $-\infty$ 类似定义
关系：若 $f(x)$ 是无穷大, 则 $\frac1{f(x)}$ 是无穷小（非零时）；反之, 若 $f(x)$ 是非零无穷小, 则 $\frac1{f(x)}$ 是无穷大
1.5 极限的计算
四则运算法则
设 $\lim f(x) = A$, $\lim g(x) = B$, 则
- $\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
- $\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
- $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}\quad (B \ne 0)$
- $\lim [c f(x)] = cA$（$c$ 为常数）
- 幂运算：$\lim [f(x)]^n = A^n$（$n$ 为正整数）
复合运算法则（变量替换）
设 $\lim \limits_{x\to x_0} g(x) = u_0$, 且 $y = f(u)$ 在 $u_0$ 处连续, 则
$$ \lim \limits_{x\to x_0} f(g(x)) = f\left(\lim \limits_{x\to x_0} g(x)\right) = f(u_0) $$
若 $f(u)$ 在 $u_0$ 处不连续, 则需额外条件（如 $g(x) \ne u_0$ 在去心邻域内）
典型方法：利用恒等变形（有理化、通分、提取公因式）、等价无穷小替换、两个重要极限、洛必达法则（后续章节）等
1.6 极限的存在准则和两个重要极限
存在准则
-
夹逼定理（迫敛性）
若在 $x_0$ 的某去心邻域内 $h(x) \le f(x) \le g(x)$, 且 $\lim h(x) = \lim g(x) = A$, 则 $\lim f(x) = A$
适用场景：含振荡因子（如 $x^2 \sin\frac1x$）、n 项和（如 $\lim \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots$）
-
单调有界数列必有极限
若数列 ${x_n}$ 单调递增且有上界, 或单调递减且有下界, 则极限存在
常用于递推数列（如 $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$, 证明收敛并求极限）
-
Cauchy 收敛原理
数列 ${x_n}$ 收敛 $\iff$ $\forall \varepsilon>0$, $\exists N$, 使得当 $n,m>N$ 时, $|x_n - x_m| < \varepsilon$
函数极限也有类似 Cauchy 准则, 但应用较少
两个重要极限
第一重要极限
$$ \boxed{\lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1} $$
推广：若 $\lim \alpha(x)=0$, 则 $\lim \dfrac{\sin \alpha(x)}{\alpha(x)} = 1$
常见变形：
$$ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}=1 \ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x}=1 \ \lim \limits_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $$
第二重要极限
$$ \boxed{\lim \limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e} $$
函数形式：
$$ \lim \limits_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e,\quad \lim \limits_{x\to 0} (1+x)^{\frac1x} = e $$
推广：若 $\lim \alpha(x)=0$, 则 $\lim (1+\alpha(x))^{\frac{1}{\alpha(x)}} = e$
常用变形：
$$ \lim \limits_{x\to 0} (1+kx)^{\frac1x} = e^k \ \lim \limits_{x\to\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^x = e^k $$
1.7 无穷小的比较
设 $\alpha(x),\beta(x)$ 是同一极限过程中的无穷小, 且 $\beta(x) \ne 0$
| 关系 | 定义 | 记号 |
|---|---|---|
| 高阶 | $\lim \dfrac{\alpha}{\beta} = 0$ | $\alpha = o(\beta)$ |
| 低阶 | $\lim \dfrac{\alpha}{\beta} = \infty$ | $\beta = o(\alpha)$ |
| 同阶 | $\lim \dfrac{\alpha}{\beta} = c \ne 0$ | $\alpha = O(\beta)$ |
| 等价 | $\lim \dfrac{\alpha}{\beta} = 1$ | $\alpha \sim \beta$ |
| $k$ 阶 | $\lim \dfrac{\alpha}{\beta^k} = c \ne 0$ | $\alpha$ 是 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小 |
常用等价无穷小（当 $x \to 0$ 时）：
$$ \sin x \sim x,\quad \tan x \sim x,\quad \arcsin x \sim x,\quad \arctan x \sim x $$
$$ 1-\cos x \sim \frac12 x^2,\quad \ln(1+x) \sim x,\quad e^x -1 \sim x $$
$$ a^x -1 \sim x \ln a,\quad (1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x $$
等价替换原则：在乘除法中可将因子替换为等价无穷小, 在加减法中慎用（需保证替换后不抵消主项）
1.8 函数的连续性
连续与间断的定义
-
连续
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义, 若 $\displaystyle \lim \limits_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$, 则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续
等价定义（$\varepsilon$-$\delta$）：$\forall \varepsilon>0$, $\exists \delta>0$, 当 $|x-x_0|<\delta$ 时 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$
-
左连续：$\lim \limits_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0)$；右连续：$\lim \limits_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0)$
连续 $\iff$ 左连续且右连续。 -
间断点：若 $f$ 在 $x_0$ 处不满足连续的条件, 则称 $x_0$ 为间断点
间断点的分类
| 类型 | 条件 | 示例 |
|---|---|---|
| 可去间断点 | $\lim \limits_{x\to x_0} f(x) = A$ 存在, 但 $A \ne f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义 | $f(x)=\frac{\sin x}{x}, x=0$ |
| 跳跃间断点 | 左、右极限存在但不等 | $f(x)=\begin{cases}0,&x<0\1,&x\ge0\end{cases}$ |
| 第二类间断点 | 左、右极限至少有一个不存在（振荡或无穷） | $f(x)=\frac1x$（无穷）, $f(x)=\sin\frac1x$（振荡） |
第一类间断点：可去 + 跳跃（左右极限均存在）
连续函数的性质
- 四则运算：连续函数的和、差、积、商（分母非零）仍连续
- 复合函数：若 $g$ 在 $x_0$ 连续, $f$ 在 $u_0=g(x_0)$ 连续, 则 $f \circ g$ 在 $x_0$ 连续
- 反函数：若 $f$ 在区间上严格单调且连续, 则反函数在其对应区间上连续
- 初等函数在其定义区间内连续（这是最重要的结论, 可直接用于极限计算）
1.9 闭区间上连续函数的性质
设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
最值定理
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定能取到最大值 $M$ 和最小值 $m$
即存在 $\xi,\eta\in[a,b]$ 使得 $f(\xi)=M$, $f(\eta)=m$
介值定理（中间值定理）
若 $m \le \mu \le M$, 则存在 $c\in[a,b]$ 使 $f(c)=\mu$
推论（零点定理）：若 $f(a)\cdot f(b) < 0$, 则存在 $c\in(a,b)$ 使 $f(c)=0$
一致连续性（Cantor 定理）
若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 则它在 $[a,b]$ 上一致连续
定义：$\forall \varepsilon>0$, $\exists \delta>0$, 使得对任意 $x_1,x_2\in[a,b]$, 只要 $|x_1-x_2|<\delta$, 就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
（一致连续比普通连续更强, 它要求 $\delta$ 只与 $\varepsilon$ 有关, 与点 $x$ 的位置无关）
第二章 导数与微分
2.1 导数的概念
导数的定义
设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义, 给 $x_0$ 一个增量 $\Delta x$（$\Delta x \ne 0$, 且 $x_0 + \Delta x$ 仍在邻域内）, 相应地函数增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。若极限
$$ \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$
存在, 则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处 可导, 该极限值称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 导数, 记作
$$ f’(x_0),\quad \left. \frac{dy}{dx} \right|{x=x_0},\quad \left. \frac{df}{dx} \right|{x=x_0} $$
等价定义：令 $h = \Delta x$, 则
$$ f’(x_0) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$
单侧导数：
- 左导数：$\displaystyle f’-(x_0) = \lim \limits{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
- 右导数：$\displaystyle f’+(x_0) = \lim \limits{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
$f(x)$ 在 $x_0$ 可导 $\iff$ $f’-(x_0)$ 和 $f’+(x_0)$ 存在且相等
导数的几何意义
导数 $f’(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处 切线的斜率
- 切线方程：$y - f(x_0) = f’(x_0)(x - x_0)$
- 法线方程：$y - f(x_0) = -\dfrac{1}{f’(x_0)}(x - x_0)$（当 $f’(x_0) \ne 0$）
函数的可导和连续
定理：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续
逆命题不成立：连续不一定可导, 例如 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导（左右导数不相等）
例：$f(x) = x^{2/3}$ 在 $x=0$ 处连续, 但导数为无穷大, 不可导（切线垂直）
2.2 求导法则
四则运算
设 $u(x), v(x)$ 可导, 则：
- $(u \pm v)’ = u’ \pm v'$
- $(uv)’ = u’v + uv’$（乘积法则）
- $\left( \dfrac{u}{v} \right)’ = \dfrac{u’v - uv’}{v^2} \quad (v \ne 0)$
推广：$(uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw'$
反函数的求导
若 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 内严格单调、可导且 $f’(x) \ne 0$, 则其反函数 $x = f^{-1}(y)$ 也可导, 且
$$ [f^{-1}]’(y) = \frac{1}{f’(x)} \quad \text{或} \quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} $$
常用反函数导数：
- $(\arcsin x)’ = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $(\arccos x)’ = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $(\arctan x)’ = \dfrac{1}{1+x^2}$
- $(\operatorname{arccot} x)’ = -\dfrac{1}{1+x^2}$
复合函数求导（链式法则）
若 $y = f(u)$, $u = g(x)$ 都可导, 则复合函数 $y = f(g(x))$ 可导, 且
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f’(g(x)) \cdot g’(x) $$
推广：多层复合 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx}$
2.3 高阶导数
定义
若 $y = f(x)$ 的导数 $y’ = f’(x)$ 仍可导, 则其导数称为二阶导数, 记作
$$ y’’ = f’’(x) = \frac{d^2 y}{dx^2} $$
类似地定义三阶、四阶……$n$ 阶导数：
$$ y^{(n)} = \frac{d^n y}{dx^n} $$
运算法则
-
线性运算
$$ (u + v)^{(n)} = u^{(n)} + v^{(n)} \ (cu)^{(n)} = c , u^{(n)} $$
-
莱布尼茨公式（乘积的高阶导数）：
$$ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k , u^{(k)} v^{(n-k)} $$
其中 $u^{(0)} = u$, $v^{(0)} = v$, $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$。
常见初等函数的 $n$ 阶导数：
$$ \begin{aligned} (x^\mu)^{(n)} &= \mu(\mu-1)\cdots(\mu-n+1) x^{\mu-n} \ (\sin x)^{(n)} &= \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) \ (\cos x)^{(n)} &= \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) \ (e^x)^{(n)} &= e^x \ (a^x)^{(n)} &= a^x (\ln a)^n \ (\ln x)^{(n)} &= (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} \end{aligned} $$
2.4 隐函数及参数方程求导
隐函数求导
若方程 $F(x, y) = 0$ 确定了 $y$ 是 $x$ 的函数, 但不易显化, 则可在方程两边对 $x$ 求导, 将 $y$ 视为 $x$ 的函数, 解出 $y'$
步骤：
- 方程两边对 $x$ 求导, 遇到 $y$ 的项乘以 $y'$
- 解出 $y’$ 的表达式（通常含 $x, y$）
例：$x^2 + y^2 = 1$ → $2x + 2y y’ = 0$ → $y’ = -\frac{x}{y}$。
对数求导法：当函数是幂指函数 $y = u(x)^{v(x)}$ 或多个因子乘除时, 先取对数再求导
$$ \ln y = v(x) \ln u(x) \quad \Rightarrow \quad \frac{y’}{y} = v’ \ln u + v \cdot \frac{u’}{u} $$
参数方程求导
设参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t) \ y = \psi(t) \end{cases}$, 其中 $\varphi(t)$ 可导且 $\varphi’(t) \ne 0$, 则
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)} $$
二阶导数：
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{ \frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dx} \right) }{ \frac{dx}{dt} } = \frac{ \psi’’(t) \varphi’(t) - \psi’(t) \varphi’’(t) }{ [\varphi’(t)]^3 } $$
相关变化率
设变量 $x, y$ 都随时间 $t$ 变化, 且满足某个方程。对两边关于 $t$ 求导, 建立 $\frac{dx}{dt}$ 与 $\frac{dy}{dt}$ 的关系, 称为相关变化率问题
步骤：
- 写出变量之间的几何/物理关系方程
- 对时间 $t$ 求导（隐函数求导）
- 代入已知时刻的变量值和变化率, 求解未知变化率
2.5 函数的微分
微分的定义
设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。若存在常数 $A$（与 $\Delta x$ 无关）, 使得增量
$$ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \cdot \Delta x + o(\Delta x) \quad (\Delta x \to 0) $$
则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 可微, $A \Delta x$ 称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 微分, 记作
$$ dy = A , \Delta x \quad \text{或} \quad df(x_0) = A , \Delta x $$
定理：$f(x)$ 在 $x_0$ 可微 $\iff$ $f(x)$ 在 $x_0$ 可导, 且 $A = f’(x_0)$。此时
$$ dy = f’(x_0) , \Delta x $$
通常记 $\Delta x = dx$（自变量的微分等于增量）, 因此
$$ \boxed{dy = f’(x) , dx} $$
运算法则
微分运算法则与导数类似（形式不变性）：
$$ \begin{aligned} d(u \pm v) &= du \pm dv \ d(uv) &= u , dv + v , du \ d\left( \frac{u}{v} \right) &= \frac{v , du - u , dv}{v^2} \quad (v \ne 0) \end{aligned} $$
一阶微分形式不变性：若 $y = f(u)$, 无论 $u$ 是自变量还是中间变量, 都有 $dy = f’(u) , du$。这对于复合函数求微分非常方便。
几何意义
微分 $dy = f’(x_0) dx$ 表示在点 $(x_0, f(x_0))$ 处, 切线上纵坐标的增量（当自变量增加 $dx$ 时）, 而 $\Delta y$ 是曲线上纵坐标的实际增量
当 $dx \to 0$ 时, $\Delta y - dy = o(dx)$
近似计算：当 $|dx|$ 很小时,
$$ f(x_0 + dx) \approx f(x_0) + f’(x_0) , dx $$
常用近似公式（当 $|x|$ 很小时）：
$$ \sqrt{1+x} \approx 1+\frac{x}{2},\quad e^x \approx 1+x,\quad \ln(1+x) \approx x,\quad \sin x \approx x $$
第三章 微分中值定理及其应用
3.1 微分中值定理
微分中值定理是连接函数与其导数之间的桥梁, 是导数应用的理论基础
三大定理层层递进：罗尔定理 → 拉格朗日中值定理 → 柯西中值定理
罗尔定理
条件：
- $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
- $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导；
- $f(a) = f(b)$。
结论：至少存在一点 $\xi \in (a, b)$, 使得 $f’(\xi) = 0$
几何意义：在两端点纵坐标相等的连续光滑曲线上, 至少存在一条水平切线
记忆口诀：“端点相等, 必有水平切线”
拉格朗日中值定理及其推论
条件：
- $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
- $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导。
结论：至少存在一点 $\xi \in (a, b)$, 使得
$$ f’(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$
或等价地
$$ f(b) - f(a) = f’(\xi)(b - a) $$
几何意义：连续光滑曲线上, 至少存在一点, 该点处的切线与连接两端点的弦平行
推论：
- 若 $\forall x \in (a, b)$, $f’(x) \equiv 0$, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上恒为常数
- 若 $\forall x \in (a, b)$, $f’(x) = g’(x)$, 则 $f(x) = g(x) + C$（$C$ 为常数）
重要用法：证明不等式（如 $|\sin x - \sin y| \le |x - y|$）
柯西中值定理
条件：
- $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续；
- $f(x), g(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导；
- $g’(x) \ne 0$ 对任意 $x \in (a, b)$ 成立。
结论：至少存在一点 $\xi \in (a, b)$, 使得
$$ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)} $$
注意：当 $g(x) = x$ 时, 柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理
三大定理关系：
$$ \text{罗尔定理} \xrightarrow{\text{旋转坐标}} \text{拉格朗日} \xrightarrow{\text{参数化}} \text{柯西} $$
3.2 泰勒公式
泰勒公式是用多项式逼近函数的重要工具, 余项分为两种：佩亚诺型（局部, 用于极限）和 拉格朗日型（整体, 用于 误差估计）
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导, 则当 $x \to x_0$ 时,
$$ f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \frac{f’’(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n) $$
特点：余项 $R_n(x) = o((x-x_0)^n)$, 只能反映局部性质, 用于求极限
带有拉格朗日型余项的泰勒公式
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $n$ 阶连续可导, 在 $(a,b)$ 内 $n+1$ 阶可导, 则对任意 $x \in [a,b]$, 存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间, 使得
$$ f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \cdots + \ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$
特点：余项可精确估计误差, 用于近似计算和证明不等式
常见麦克劳林展开式
当 $x_0 = 0$ 时, 称为 麦克劳林公式。以下均给出带佩亚诺余项的形式（$x \to 0$）：
$$ \begin{aligned} e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}) \ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) \ \ln(1+x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n) \ \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n) \ (1+x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \binom{\alpha}{n}x^n + o(x^n) \end{aligned} $$
记忆技巧：
- $e^x$：各项系数为 $1/n!$
- $\sin x$：奇次项, 正负交替, 分母阶乘
- $\cos x$：偶次项, 正负交替, 分母阶乘
- $\ln(1+x)$：无阶乘, 符号逐项交替
3.3 不定式（未定式）
定义
两个无穷小量之比的极限称为 $\frac{0}{0}$ 型未定式；两个无穷大量之比的极限称为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式
此外还有 $0 \cdot \infty$、$\infty - \infty$、$0^0$、$1^\infty$、$\infty^0$ 等类型
$\frac{0}{0}$ 型极限
洛必达法则：若
- $\lim f(x) = \lim g(x) = 0$
- 在去心邻域内 $f’(x), g’(x)$ 存在且 $g’(x) \ne 0$
- $\displaystyle \lim \frac{f’(x)}{g’(x)}$ 存在（或为 $\infty$）
则
$$ \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f’(x)}{g’(x)} $$
$\frac{\infty}{\infty}$ 型极限
洛必达法则同样适用, 只需将条件中极限改为无穷大
注意：
- 洛必达法则不是万能的：若 $\frac{f’(x)}{g’(x)}$ 极限不存在（且非无穷）, 不能说明原极限不存在
- 可反复使用, 直到不再为未定式
- 结合等价无穷小替换使用更高效
其他不定式
| 类型 | 转化方法 |
|---|---|
| $0 \cdot \infty$ | 写成 $\frac{0}{1/\infty}$ 或 $\frac{\infty}{1/0}$, 化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ |
| $\infty - \infty$ | 通分、有理化、提取公因式, 化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ |
| $0^0,\ 1^\infty,\ \infty^0$ | 取对数：$\lim u^v = e^{\lim v \ln u}$, 转化为 $0 \cdot \infty$ 型 |
3.4 函数的单调性与极值
单调性定理
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导
- 若 $\forall x \in (a, b)$, $f’(x) > 0$, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调递增
- 若 $\forall x \in (a, b)$, $f’(x) < 0$, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调递减
- 若 $f’(x) \ge 0$（或 $\le 0$）且等号只在孤立点成立, 仍可判断单调性
极值和最值
定义：
- 极大值：存在 $\delta > 0$, 使得 $\forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, $f(x) \le f(x_0)$（严格极大值为 $< $）
- 极小值：类似定义, 方向相反
- 极值点：函数取得极值的点
- 最值：在整个定义域上取得的最大值/最小值
极值存在的必要条件（费马引理）：若 $f$ 在 $x_0$ 处可导且取极值, 则 $f’(x_0) = 0$
注意：驻点（导数为零的点）不一定取极值（如 $x^3$ 在 $x=0$）
极值存在的充分条件：
- 第一充分条件（导数变号）：$x_0$ 是驻点或不可导点。若 $f’$ 在 $x_0$ 左侧正、右侧负, 则 $x_0$ 为极大值点；左负右正为极小值点
- 第二充分条件（二阶导数）：$f’(x_0)=0$ 且 $f’’(x_0) \ne 0$, 则 $f’’(x_0) < 0$ 为极大值点, $f’’(x_0) > 0$ 为极小值点
最值的求法（闭区间 $[a,b]$ 上）：
- 求出所有驻点和不可导点；
- 计算这些点及端点 $a, b$ 的函数值；
- 比较大小, 最大者为最大值, 最小者为最小值。
3.5 函数的凹凸性和图像描绘
引例：$y = \arctan x$
- 定义域：$D = (-\infty, +\infty)$
- 单调性：$f’(x) = \frac{1}{1+x^2} > 0$ → 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增
- 凹凸性：$f’’(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$
- 当 $x > 0$ 时, $f’’(x) < 0$ → 上凸（向下凸/凹向下）
- 当 $x < 0$ 时, $f’’(x) > 0$ → 上凹（向上凸/凹向上）
- $x = 0$ 处为 拐点
- 渐近线：
- 水平渐近线：$\lim \limits_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, $\lim \limits_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$
- 无垂直渐近线、无斜渐近线
凹凸性、拐点的定义
凹凸性定义（两种常见定义, 注意教材差异）：
- 上凹（下凸）：曲线位于切线之上。常见记法：$f’’(x) > 0$。
- 上凸（下凹）：曲线位于切线之下。常见记法：$f’’(x) < 0$。
⚠️ 注意：不同教材对“凸”的定义方向相反。本书采用：上凹（凹向上/Concave Up）= $f’’(x) > 0$；上凸（凹向下/Concave Down）= $f’’(x) < 0$。
拐点：连续曲线上, 凹凸性发生变化的点称为拐点。
拐点的必要条件：若 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点且 $f’’(x_0)$ 存在, 则 $f’’(x_0) = 0$。
拐点的充分条件：$f’’(x_0) = 0$ 且在 $x_0$ 两侧 $f’’(x)$ 变号。
定理和推论
凹凸性判别定理： 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内二阶可导。
- 若 $\forall x \in (a,b)$, $f’’(x) > 0$, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上上凹（曲线在切线之上）。
- 若 $\forall x \in (a,b)$, $f’’(x) < 0$, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上上凸（曲线在切线之下）。
曲线的渐近线
渐近线是描绘函数图像（尤其是无穷远处形态）的重要工具
| 类型 | 条件 | 方程 |
|---|---|---|
| 水平渐近线 | $\lim \limits_{x\to+\infty} f(x) = L$ 或 $\lim \limits_{x\to-\infty} f(x) = L$ | $y = L$ |
| 垂直渐近线 | $\lim \limits_{x\to x_0^+} f(x) = \infty$ 或 $\lim \limits_{x\to x_0^-} f(x) = \infty$ | $x = x_0$ |
| 斜渐近线 | $\lim \limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = k$, $\lim \limits_{x\to+\infty} [f(x) - kx] = b$（$k \ne 0$） | $y = kx + b$ |
斜渐近线的 $k, b$ 也可通过公式：
$$ k = \lim \limits_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim \limits_{x\to\infty} [f(x) - kx] $$
$x \to -\infty$ 时也需单独考虑（可能与 $+\infty$ 侧相同或不同）。
函数图像描绘步骤
- 定义域：确定函数的自然定义域, 注意间断点
- 奇偶性与周期性：简化作图范围
- 单调性与极值：求 $f’(x)$, 确定单调区间和极值点
- 凹凸性与拐点：求 $f’’(x)$, 确定凹凸区间和拐点
- 渐近线：求水平、垂直、斜渐近线
- 特殊点：与坐标轴交点等
- 综合绘图：标出关键点, 按区间绘出曲线形态
第四章 不定积分
4.1 不定积分概念与性质
原函数与不定积分
原函数定义：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若存在可导函数 $F(x)$，使得对任意 $x \in I$，有
$$ F’(x) = f(x) \quad \text{或} \quad dF(x) = f(x) , dx $$
则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。
原函数存在定理：若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $I$ 上一定存在原函数。
原函数族：若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $F(x) + C$（$C$ 为任意常数）也是 $f(x)$ 的原函数，且 $f(x)$ 的所有原函数可表示为 $F(x) + C$。
不定积分定义：$f(x)$ 的所有原函数的全体称为 $f(x)$ 的不定积分，记作
$$ \int f(x) , dx = F(x) + C $$
其中：
- $\int$ —— 积分号
- $f(x)$ —— 被积函数
- $f(x) dx$ —— 被积表达式
- $x$ —— 积分变量
- $C$ —— 积分常数（不可省略）
几何意义：不定积分表示一族曲线（积分曲线族），它们彼此通过竖直平移得到。
基本积分表
以下为常用基本积分公式，须熟记：
$$ \begin{array}{ll} \int 0 , dx = C & \int k , dx = kx + C \quad (k \text{ 为常数}) \ \int x^\mu , dx = \dfrac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C \quad (\mu \ne -1) & \int \dfrac{1}{x} , dx = \ln|x| + C \ \int e^x , dx = e^x + C & \int a^x , dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \ne 1) \ \int \sin x , dx = -\cos x + C & \int \cos x , dx = \sin x + C \ \int \sec^2 x , dx = \tan x + C & \int \csc^2 x , dx = -\cot x + C \ \int \sec x \tan x , dx = \sec x + C & \int \csc x \cot x , dx = -\csc x + C \ \int \dfrac{1}{1+x^2} , dx = \arctan x + C & \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} , dx = \arcsin x + C \ \int \tan x , dx = -\ln|\cos x| + C & \int \cot x , dx = \ln|\sin x| + C \ \int \sec x , dx = \ln|\sec x + \tan x| + C & \int \csc x , dx = \ln|\csc x - \cot x| + C \ \int \dfrac{1}{a^2 + x^2} , dx = \dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{x}{a} + C & \int \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} , dx = \arcsin \dfrac{x}{a} + C \ \int \dfrac{1}{x^2 - a^2} , dx = \dfrac{1}{2a} \ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right| + C & \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} , dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C \end{array} $$
线性性质
定理：若 $f(x), g(x)$ 有原函数，$\lambda, \mu$ 为常数，则
$$ \int [\lambda f(x) + \mu g(x)] , dx = \lambda \int f(x) , dx + \mu \int g(x) , dx $$
即不定积分是线性运算，可拆分为和、提取常数因子。
4.2 换元法与分部积分法
换元法
换元法是复合函数求导法则的逆运算，分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（变量代换法）。
第一类换元法（凑微分法）
原理：若 $\int f(u) , du = F(u) + C$，且 $u = \varphi(x)$ 可导，则
$$ \int f(\varphi(x)) , \varphi’(x) , dx = \int f(u) , du = F(\varphi(x)) + C $$
关键技巧：将 $\varphi’(x) dx$ 凑成 $d\varphi(x)$。
常见凑微分形式：
$$ \begin{aligned} f(ax+b) , dx &\to \frac{1}{a} f(ax+b) , d(ax+b) \ f(x^n) x^{n-1} , dx &\to \frac{1}{n} f(x^n) , d(x^n) \ f(\ln x) \cdot \frac{1}{x} , dx &\to f(\ln x) , d(\ln x) \ f(e^x) e^x , dx &\to f(e^x) , d(e^x) \ f(\sin x) \cos x , dx &\to f(\sin x) , d(\sin x) \ f(\cos x) \sin x , dx &\to -f(\cos x) , d(\cos x) \ f(\tan x) \sec^2 x , dx &\to f(\tan x) , d(\tan x) \ \frac{f(\arctan x)}{1+x^2} , dx &\to f(\arctan x) , d(\arctan x) \ \frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}} , dx &\to f(\arcsin x) , d(\arcsin x) \end{aligned} $$
第二类换元法（变量代换法）
原理：设 $x = \psi(t)$ 单调可导，且 $\psi’(t) \ne 0$，若 $\int f(\psi(t)) \psi’(t) , dt = G(t) + C$，则
$$ \int f(x) , dx = G(\psi^{-1}(x)) + C $$
常见代换类型：
| 被积函数形式 | 代换 | 化简后 |
|---|---|---|
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a \sin t$ 或 $x = a \cos t$ | $a \cos t$ 或 $a \sin t$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a \tan t$ | $a \sec t$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a \sec t$ | $a \tan t$ |
| $\sqrt{ax + b}$ | $t = \sqrt{ax + b}$ | 有理化 |
根式代换小结：
- 被积函数含 $\sqrt[n]{ax + b}$：令 $t = \sqrt[n]{ax + b}$
- 被积函数含 $\sqrt{ax + b}$ 与 $\sqrt{cx + d}$：令 $t = \sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$（欧拉代换）
分部积分法
原理：由乘积求导法则 $(uv)’ = u’v + uv’$ 移项积分得
$$ \int u , dv = uv - \int v , du $$
其中 $u = u(x)$，$v = v(x)$ 可导。
选择 $u$ 的优先顺序（LIATE 法则）：
$$ \boxed{\text{反三角函数 > 对数函数 > 幂函数 > 三角函数/指数函数}} $$
即：将求导后变简单的函数设为 $u$，将易于积分的函数设为 $dv$。
常见分部积分类型：
| 类型 | 举例 | 技巧 |
|---|---|---|
| 幂函数 × 指数函数 | $\int x^n e^x dx$ | 设 $u = x^n$，$dv = e^x dx$ |
| 幂函数 × 三角函数 | $\int x^n \sin x , dx$ | 设 $u = x^n$，$dv = \sin x , dx$ |
| 幂函数 × 对数函数 | $\int x^n \ln x , dx$ | 设 $u = \ln x$，$dv = x^n dx$ |
| 幂函数 × 反三角函数 | $\int x^n \arctan x , dx$ | 设 $u = \arctan x$，$dv = x^n dx$ |
| 指数函数 × 三角函数 | $\int e^{ax} \sin bx , dx$ | 两次分部后回代 |
特殊技巧：有时需要将 $1$ 视为 $dv$，如 $\int \ln x , dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx$。
4.3 有理函数及其相关的不定积分
有理函数的定义
有理函数：可以表示为两个多项式之比的函数
$$ R(x) = \frac{P_m(x)}{Q_n(x)} = \frac{a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_0}{b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_0} $$
其中 $P_m, Q_n$ 为多项式，$a_m \ne 0$，$b_n \ne 0$。
真假分式
- 真分式：分子次数 < 分母次数（$m < n$）
- 假分式：分子次数 ≥ 分母次数（$m \ge n$）
处理步骤：
- 若为假分式，用多项式除法化为 多项式 + 真分式： $$ \frac{P_m(x)}{Q_n(x)} = S_{m-n}(x) + \frac{R_k(x)}{Q_n(x)} \quad (k < n) $$
- 多项式部分可直接积分。
- 真分式通过部分分式分解化为简单分式之和。
部分分式分解规则（分母分解为一次/二次不可约因式的幂积）：
| 分母因式 | 对应部分分式 |
|---|---|
| $(x-a)$ | $\dfrac{A}{x-a}$ |
| $(x-a)^k$ | $\dfrac{A_1}{x-a} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \dfrac{A_k}{(x-a)^k}$ |
| $(x^2 + px + q)$（$\Delta < 0$） | $\dfrac{Ax + B}{x^2 + px + q}$ |
| $(x^2 + px + q)^k$ | $\dfrac{A_1 x + B_1}{x^2 + px + q} + \dfrac{A_2 x + B_2}{(x^2 + px + q)^2} + \cdots + \dfrac{A_k x + B_k}{(x^2 + px + q)^k}$ |
待定系数法：用通分后比较分子系数（或代入特殊值）确定 $A_i, B_i$。
三角有理函数的积分
三角有理函数：由 $\sin x, \cos x$ 经四则运算构成的函数。
万能代换：令 $t = \tan \frac{x}{2}$，则
$$ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} dt $$
代换后化为有理函数的积分。
特殊情况（有更简单的代换）：
| 被积函数特点 | 推荐代换 |
|---|---|
| 仅含 $\sin x$ 的奇次幂 | 提取一个 $\sin x$，令 $u = \cos x$ |
| 仅含 $\cos x$ 的奇次幂 | 提取一个 $\cos x$，令 $u = \sin x$ |
| $\sin x, \cos x$ 均为偶次幂 | 降幂公式：$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$，$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ |
| 含 $\tan x$，且分子为 $\sec^2 x$ | 令 $u = \tan x$ |
| $R(\sin^2 x, \cos^2 x, \sin x \cos x)$ | 令 $t = \tan x$ |
无理根式的不定积分
简单根式：
- 形如 $\sqrt{ax + b}$：令 $t = \sqrt{ax + b}$，化为有理函数。
- 形如 $\sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$：令 $t = \sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$。
二次根式（$\sqrt{ax^2 + bx + c}$）：
- 配方后化为 $\sqrt{u^2 \pm A^2}$ 或 $\sqrt{A^2 - u^2}$ 的形式。
- 再用三角代换（见 4.2 第二类换元法）。
欧拉代换（适用于一般根式 $\sqrt{ax^2 + bx + c}$）：
- 第一欧拉代换：当 $a > 0$ 时，令 $\sqrt{ax^2 + bx + c} = t - \sqrt{a} , x$
- 第二欧拉代换：当 $c > 0$ 时，令 $\sqrt{ax^2 + bx + c} = xt + \sqrt{c}$
- 第三欧拉代换：当 $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ 时，令 $\sqrt{ax^2 + bx + c} = t(x - \alpha)$
实际做题中，二次根式优先考虑配方法 + 三角代换，欧拉代换作为备选。
第五章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念和性质
图形面积求法（定积分思想的引入）
求曲边梯形面积 $S = {(x, y) \mid a \le x \le b,\ 0 \le y \le f(x)}$（其中 $f(x) \ge 0$）的 四步法：
-
分割：在 $[a, b]$ 中插入分点 $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，将区间分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$，长度 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。
-
替代：在每个小区间上任取一点 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$，用小矩形面积 $f(\xi_i) \Delta x_i$ 近似代替第 $i$ 个小曲边梯形面积。
-
求和：$S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$，得到面积的近似值。
-
取极限：令 $\lambda = \max{\Delta x_i} \to 0$，则
$$ S = \lim \limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i $$
定积分的定义
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，在 $[a, b]$ 中任意插入分点：
$$ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b $$
记 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，$\lambda = \max_{1 \le i \le n} {\Delta x_i}$。若对任意的分法和任意的 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$，极限
$$ \lim \limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i $$
存在，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 可积，该极限称为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的 定积分，记作
$$ \int_a^b f(x) , dx = \lim \limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i $$
其中：
- $a$ —— 积分下限
- $b$ —— 积分上限
- $f(x)$ —— 被积函数
- $x$ —— 积分变量（积分值与变量符号无关：$\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt$）
补充规定：
- 当 $a = b$ 时：$\int_a^a f(x) dx = 0$
- 当 $a > b$ 时：$\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$
定积分的几何意义
- 当 $f(x) \ge 0$ 时，$\int_a^b f(x) dx$ 表示以 $f(x)$ 为曲边的曲边梯形面积。
- 当 $f(x) \le 0$ 时，$\int_a^b f(x) dx$ 表示曲边梯形面积的负值。
- 一般情形：定积分等于 $x$ 轴上方面积减去 $x$ 轴下方面积的代数和（有正负）。
可积性定理
必要条件：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 有界。
注意：有界不一定可积，如狄利克雷函数 $D(x) = \begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\0,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$ 在任意区间上有界但不可积。
充分条件：
- 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。
- 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。
- 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调有界，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。
定积分的性质
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。
1. 线性性质：
$$ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] , dx = \alpha \int_a^b f(x) , dx + \beta \int_a^b g(x) , dx $$
2. 区间可加性（对积分区间的可加性）：
$$ \int_a^b f(x) , dx = \int_a^c f(x) , dx + \int_c^b f(x) , dx \quad (a < c < b) $$
推广：无论 $a, b, c$ 的相对位置如何，该等式都成立。
3. 保号性：
- 若 $f(x) \ge 0$（$x \in [a, b]$），则 $\int_a^b f(x) , dx \ge 0$。
- 推论：若 $f(x) \le g(x)$，则 $\int_a^b f(x) , dx \le \int_a^b g(x) , dx$。
4. 绝对值不等式：
$$ \left| \int_a^b f(x) , dx \right| \le \int_a^b |f(x)| , dx \quad (a < b) $$
5. 估值定理：若 $m \le f(x) \le M$（$x \in [a, b]$），则
$$ m(b-a) \le \int_a^b f(x) , dx \le M(b-a) $$
6. 积分中值定理（第一积分中值定理）： 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a, b]$，使得
$$ \int_a^b f(x) , dx = f(\xi)(b-a) $$
该值称为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的平均值 $ \bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$。
推广：若 $f(x), g(x)$ 连续，且 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上不变号，则存在 $\xi \in [a, b]$，使
$$ \int_a^b f(x) g(x) , dx = f(\xi) \int_a^b g(x) , dx $$
这称为广义积分中值定理（或第二积分中值定理的简化版本）
5.2 基本定理、公式及其计算
微积分基本定理
定积分与不定积分通过微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）联系起来。
变上限积分：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，定义
$$ \Phi(x) = \int_a^x f(t) , dt \quad (x \in [a, b]) $$
则 $\Phi(x)$ 可导，且
$$ \boxed{\Phi’(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) , dt = f(x)} $$
即：变上限积分是被积函数的一个原函数。
推广（变上/下限复合函数求导）：
$$ \frac{d}{dx} \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) , dt = f(\psi(x)) \cdot \psi’(x) - f(\varphi(x)) \cdot \varphi’(x) $$
牛顿-莱布尼茨公式： 若 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数，则
$$ \boxed{\int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a) = \left. F(x) \right|_a^b} $$
定积分的换元法
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，函数 $x = \varphi(t)$ 满足：
- $\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$；
- $\varphi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$（或 $[\beta, \alpha]$）上单调且有连续导数；
- 当 $t \in [\alpha, \beta]$ 时，$\varphi(t) \in [a, b]$。
则
$$ \boxed{\inta^b f(x) , dx = \int\alpha^\beta f(\varphi(t)) , \varphi’(t) , dt} $$
注意：定积分换元与不定积分换元的关键区别——换元的同时必须更换积分上下限（上限对上限，下限对下限），换元后不需回代。
定积分的分部积分法
若 $u(x), v(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续导数，则
$$ \boxed{\int_a^b u , dv = \left. uv \right|_a^b - \int_a^b v , du} $$
即
$$ \int_a^b u(x) v’(x) , dx = \left. u(x) v(x) \right|_a^b - \int_a^b v(x) u’(x) , dx $$
5.3 反常积分
反常积分（广义积分）分为两类：无穷限反常积分（区间无限）和 无界函数的反常积分（被积函数无界）。
无穷限反常积分
定义：
$$ \int_a^{+\infty} f(x) , dx = \lim \limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) , dx $$
若极限存在，则称反常积分 收敛；否则 发散。
类似定义：
$$ \int_{-\infty}^b f(x) , dx = \lim \limits_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) , dx,\quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) , dx = \int_{-\infty}^c f(x) , dx + \int_c^{+\infty} f(x) , dx $$
无穷限积分敛散性判别
基本比较判别法：若 $0 \le f(x) \le g(x)$（$x \ge a$）：
- 若 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛；
- 若 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 发散，则 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 发散。
极限比较判别法：若 $f(x), g(x) \ge 0$ 且 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l$：
- 当 $0 < l < +\infty$ 时，两积分同敛散；
- 当 $l = 0$ 时，若 $\int g$ 收敛则 $\int f$ 收敛；
- 当 $l = +\infty$ 时，若 $\int g$ 发散则 $\int f$ 发散。
常用参照积分：
$$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} , dx \quad \text{收敛} \iff p > 1 $$
无界函数的反常积分（瑕积分）
设 $f(x)$ 在点 $a$ 的右邻域内无界（$a$ 为 瑕点），定义
$$ \int_a^b f(x) , dx = \lim \limits_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) , dx $$
若极限存在，则称积分收敛；否则发散。
类似定义 $b$ 为瑕点，或内部点 $c \in (a, b)$ 为瑕点：
$$ \int_a^b f(x) , dx = \int_a^c f(x) , dx + \int_c^b f(x) , dx $$
两个子积分都收敛时原积分才收敛。
无界函数积分收敛性判别
基本比较判别法：同无穷限积分，在瑕点附近比较。
常用参照积分（以 $x = a$ 为瑕点）：
$$ \int_a^b \frac{1}{(x-a)^p} , dx \quad \text{收敛} \iff p < 1 $$
广义比较法：若在瑕点 $a$ 附近，$f(x) \sim \frac{k}{(x-a)^p}$，则：
- $p < 1$ 时收敛；
- $p \ge 1$ 时发散（需结合具体判别）。
5.4 定积分的应用
定积分的微元法
微元法是建立定积分模型的通用方法，核心思想是“局部线性化”。
步骤：
- 在区间 $[a, b]$ 上任取一个小区间 $[x, x + dx]$；
- 找出该小区间上所求量的近似值（微元）$dU = f(x) , dx$；
- 定积分 $U = \int_a^b f(x) , dx$。
微元法本质：
$$ \int*a^b f(x) , dx = \lim \limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i $$
即 分割 → 代替 → 求和 → 取极限 的四步过程。
几何应用
1. 平面图形的面积
直角坐标：
- $x$ 型区域（上下边界）：$S = \int_a^b [f(x) - g(x)] , dx$（$f(x) \ge g(x)$）
- $y$ 型区域（左右边界）：$S = \int_c^d [\varphi(y) - \psi(y)] , dy$
参数方程（$x = \varphi(t), y = \psi(t)$，$t \in [\alpha, \beta]$）：
$$ S = \int_\alpha^\beta |\psi(t) \varphi’(t)| , dt $$
极坐标（$r = r(\theta)$，$\alpha \le \theta \le \beta$）：
$$ S = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta [r(\theta)]^2 , d\theta $$
2. 体积
旋转体体积（绕 $x$ 轴）：
$$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 , dx $$
绕 $y$ 轴（壳层法）：
$$ V = 2\pi \int_a^b x |f(x)| , dx $$
平行截面面积已知的立体体积：若立体在 $x$ 处的截面面积为 $A(x)$，则
$$ V = \int_a^b A(x) , dx $$
3. 弧长
直角坐标 $y = f(x)$，$a \le x \le b$：
$$ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f’(x)]^2} , dx $$
参数方程 $x = \varphi(t), y = \psi(t)$，$\alpha \le t \le \beta$：
$$ L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[\varphi’(t)]^2 + [\psi’(t)]^2} , dt $$
极坐标 $r = r(\theta)$，$\alpha \le \theta \le \beta$：
$$ L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r’(\theta)]^2} , d\theta $$
4. 曲率
曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x, y)$ 处的 曲率：
$$ K = \frac{|y’’|}{(1 + y’^2)^{3/2}} $$
曲率半径：$\rho = \frac{1}{K}$（$K \ne 0$）
参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t) \ y = \psi(t) \end{cases}$ 的曲率：
$$ K = \frac{|\varphi’(t) \psi’’(t) - \psi’(t) \varphi’’(t)|}{[\varphi’^2(t) + \psi’^2(t)]^{3/2}} $$
第六章 微分方程
6.1 微分方程的基本概念
定义：含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为 微分方程。
- 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程。
- 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程。（本书仅讨论常微分方程）
阶数：方程中出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的 阶。
线性与非线性：若未知函数及其各阶导数都是一次幂（无乘积、复合等），则称为 线性微分方程；否则为 非线性微分方程。
解：若函数 $y = \varphi(x)$ 代入微分方程后能使方程成为恒等式，则称该函数为微分方程的一个解。
通解：含有与微分方程阶数相同个数的独立任意常数的解。
特解：通解中任意常数取特定值后得到的解。
初值问题：给定初始条件（如 $y(x_0) = y_0$，$y’(x_0) = y_1$ 等），求满足该条件的解的问题，也称柯西问题。
6.2 可分离变量的微分方程
标准形式：
$$ \frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y) $$
或
$$ M(x) , dx + N(y) , dy = 0 $$
解法——分离变量法：
-
将含有 $x$ 的项和含有 $y$ 的项分别置于等号两侧：
$$ \frac{dy}{h(y)} = g(x) , dx \quad (\text{假设 } h(y) \ne 0) $$
-
两边同时积分：
$$ \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) , dx + C $$
-
若 $h(y_0) = 0$，则 $y = y_0$ 也是方程的解（可能包含在通解中，若被遗漏需单独指出）。
6.3 齐次方程
齐次方程的定义
你给出的式子：
$$ \frac{dy}{dx} + p(x) \cdot y = q(x) $$
这是一阶线性微分方程。其中：
- 当 $q(x) \equiv 0$ 时，称为一阶线性齐次方程；
- 当 $q(x) \not\equiv 0$ 时，称为一阶线性非齐次方程。
注意：你写的这个是一阶线性方程的定义，不是本章开头通常讲的“齐次方程”。标准教材中，“齐次方程”通常指：
$$ \frac{dy}{dx} = \varphi\left( \frac{y}{x} \right) $$
即右端可化为 $\frac{y}{x}$ 的函数，变量替换 $u = \frac{y}{x}$，化为可分离变量方程。
解法：令 $u = \dfrac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\dfrac{dy}{dx} = u + x\dfrac{du}{dx}$，代入后分离变量即可。
可化为齐次的方程
形如：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2} $$
处理思路：
- 若 $c_1 = c_2 = 0$，直接为齐次方程；
- 若 $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \ne 0$，通过平移变换 $x = X + h$，$y = Y + k$，令常数项消失，化为齐次方程；
- 若行列式为零，做替换 $u = a_1 x + b_1 y$，化为可分离变量。
6.4 一阶线性微分方程
标准形式：
$$ \frac{dy}{dx} + p(x) , y = q(x) $$
解法——常数变易法：
-
先解对应的齐次方程 $\frac{dy}{dx} + p(x) y = 0$：
$$ \frac{dy}{y} = -p(x) , dx \quad \Rightarrow \quad y = C e^{-\int p(x) , dx} $$
-
令非齐次方程的解为 $y = C(x) e^{-\int p(x) , dx}$（将常数 $C$ 变为函数 $C(x)$）。
-
代入原方程，得：
$$ C’(x) e^{-\int p(x) , dx} = q(x) $$
因此 $C’(x) = q(x) e^{\int p(x) , dx}$。
-
积分得：
$$ C(x) = \int q(x) e^{\int p(x) , dx} , dx + C $$
-
所以通解为：
$$ \boxed{y = e^{-\int p(x) , dx} \left( \int q(x) e^{\int p(x) , dx} , dx + C \right)} $$
6.5 可降阶的高阶方程
类型一：$y^{(n)} = f(x)$（不显含 $y, y’, \dots, y^{(n-1)}$）
直接逐次积分 $n$ 次：
$$ y = \underbrace{\int \cdots \int}_{n \text{次}} f(x) , dx \cdots dx + C_1 x^{n-1} + C_2 x^{n-2} + \cdots + C_n $$
类型二：$y’’ = f(x, y’)$（不显含 $y$）
令 $p = y’$，则 $y’’ = p’$，方程化为：
$$ p’ = f(x, p) $$
这是一阶微分方程。解出 $p = \varphi(x, C_1)$，再积分 $y = \int p , dx + C_2$。
类型三：$y’’ = f(y, y’)$（不显含 $x$）
令 $p = y’$，将 $y$ 视为自变量：
$$ y’’ = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy} $$
代入得：
$$ p \frac{dp}{dy} = f(y, p) $$
解出 $p = \varphi(y, C_1)$，再由 $\frac{dy}{dx} = \varphi(y, C_1)$ 分离变量积分。
6.6 高阶线性微分方程
定义
$n$ 阶线性微分方程的标准形式：
$$ y^{(n)} + a_1(x) y^{(n-1)} + a_2(x) y^{(n-2)} + \cdots + a_{n-1}(x) y’ + a_0(x) y = f(x) $$
若 $f(x) \equiv 0$，称为齐次；否则为非齐次。
二阶线性齐次方程标准形式：
$$ y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0 $$
线性相关的定义
设 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 是定义在区间 $I$ 上的 $n$ 个函数。若存在不全为零的常数 $k_1, k_2, \dots, k_n$，使得
$$ k_1 y_1 + k_2 y_2 + \cdots + k_n y_n \equiv 0 \quad (x \in I) $$
则称这组函数在 $I$ 上线性相关；否则称线性无关。
对于两个函数：$y_1, y_2$ 线性无关 $\iff$ $\dfrac{y_1}{y_2}$ 不是常数。
对于二阶齐次线性方程：若 $y_1, y_2$ 是方程的两个线性无关解，则通解为
$$ y = C_1 y_1 + C_2 y_2 $$
刘维尔公式（Liouville’s Formula）
对于二阶线性齐次方程：
$$ y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0 $$
若已知一个非零解 $y_1$，则另一个与 $y_1$ 线性无关的解为：
$$ \boxed{y_2 = y_1 \int \frac{1}{y_1^2} e^{-\int p(x) , dx} , dx} $$
推导思路：设 $y_2 = u(x) y_1$，代入方程，令 $u’ = v$，得到一阶线性方程，解出 $u$ 后即得公式。
6.7 常系数齐次线性微分方程
特征方程法（二阶）
对于二阶常系数齐次线性方程：
$$ y’’ + p y’ + q y = 0 \quad (p, q \text{ 为常数}) $$
令 $y = e^{rx}$，代入得特征方程：
$$ r^2 + p r + q = 0 $$
根的情况与通解：
| 特征根 | 通解形式 |
|---|---|
| 两个不等实根 $r_1 \ne r_2$ | $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ |
| 两个相等实根 $r_1 = r_2 = r$ | $y = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$ |
| 一对共轭复根 $r = \alpha \pm \beta i$ | $y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$ |
n 阶常系数齐次微分方程
对于：
$$ y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} y’ + a_n y = 0 $$
特征方程为：
$$ r^n + a_1 r^{n-1} + \cdots + a_{n-1} r + a_n = 0 $$
通解规则（线性组合）：
- 每个单实根 $r$ 对应一项 $C e^{r x}$；
- 每个 $k$ 重实根 $r$ 对应 $(C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k-1}) e^{r x}$；
- 每对单重复根 $\alpha \pm \beta i$ 对应 $e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$；
- 每对 $k$ 重复根 对应 $e^{\alpha x} [(C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k-1}) \cos \beta x + (D_1 + D_2 x + \cdots + D_k x^{k-1}) \sin \beta x]$。
6.8 常系数非齐次微分方程的解法
待定系数法（二阶）
对于：
$$ y’’ + p y’ + q y = f(x) $$
先求对应齐次方程的通解 $Y$，再求一个特解 $y^$，通解为 $y = Y + y^$。
特解形式的设定（$f(x)$ 为特殊函数时）：
情形一：$f(x) = P_m(x) e^{\lambda x}$
设特解：
$$ y^* = x^k Q_m(x) e^{\lambda x} $$
其中：
- $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次（$m$ 次）的待定系数多项式；
- $k$ 的取值：
- $\lambda$ 不是特征根 → $k = 0$
- $\lambda$ 是单特征根 → $k = 1$
- $\lambda$ 是重特征根 → $k = 2$
情形二：$f(x) = e^{\lambda x} [P_m(x) \cos \omega x + Q_n(x) \sin \omega x]$
设特解：
$$ y^* = x^k e^{\lambda x} [R_l(x) \cos \omega x + S_l(x) \sin \omega x] $$
其中 $l = \max{m, n}$，$R_l, S_l$ 为 $l$ 次待定系数多项式。
- 若 $\lambda + i\omega$ 不是特征根 → $k = 0$
- 若 $\lambda + i\omega$ 是特征根 → $k = 1$
6.9 欧拉方程
什么是欧拉方程
欧拉方程是一种 变系数线性微分方程，其特点是每一项中未知函数的阶数与该变量 $x$ 的次数相同。
二阶欧拉方程标准形式：
$$ x^2 y’’ + p x y’ + q y = f(x) \quad (p, q \text{ 为常数}) $$
n 阶欧拉方程
一般形式：
$$ x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} x y’ + a_n y = f(x) $$
解法：令 $x = e^t$（或 $t = \ln x$，$x > 0$），则
$$ x \frac{d}{dx} = \frac{d}{dt}, \quad x^2 \frac{d^2}{dx^2} = \frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt}, \quad x^3 \frac{d^3}{dx^3} = \frac{d^3}{dt^3} - 3\frac{d^2}{dt^2} + 2\frac{d}{dt} $$
代入后欧拉方程化为以 $t$ 为自变量的 常系数线性微分方程。
推广到 $x < 0$：令 $x = -e^t$ 或令 $x = e^t$，$t = \ln |x|$，结果相同。